Untersucht wird der von denjenigen Zeitpunkten erzeugte Punktprozess, zu denen sich eine stationäre Gausssche Folge mit der Kovarianzfunktion $r(n)$ in einer Menge $A$ aufhält, wenn $A$ (bezüglich der Standardnormalverteilung) immer kleiner wird. Bekannte Bedingungen an $r(n)$, $n\to\infty$, die bei geeigneter Normierung die schwache Konvergenz gegen einen Poissonprozess garantieren, beziehen sich auf die Fälle $A=[u,\infty)$ und $A\subset[-M,M]$. In der vorliegenden Arbeit werden Bedingungen für den allgemeinen Fall angegeben, die in erster Linie von der «Geschwindigkeit» der Erhöhung des «Niveaus» der Mengen $A$ abhängen.