Geodesic
Méthodes KAM pour les opérateurs de Schrödinger non autonomes
Graffi, Sandro1 
1 Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Piazza di Porta S Donato 5, 40127 Bologna, Italy
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2001-2002), Exposé no. 14, 19 p.

Voir la notice de l'acte provenant de la source Numdam

On élimine par la méthode KAM la dépendance temporelle dans une classe d’équations différentielles linéaires en ℓ 2 avec dépendance quasi-périodique et non bornée du temps. Ceci entraîne la nature purement ponctuelle du spectre de Floquet de l’opérateur H 0 +ϵP(ωt) pour ϵ petit. Ici H 0 est l’opérateur différentiel de Schrödinger ordinaire -d 2 dx 2 +V, V(x)∼|x| α ,α>2 lorsque |x|→∞, la perturbation quasi-périodique par rapport au temps P peut diverger comme |x| β ,β<(α-2)/2, et le vecteur des fréquences ω n’est pas résonant. La preuve est fondée sur l’estimation de Kuksin pour les solutions des équations homologiques avec coefficients non constants.

Graffi, Sandro 1

1 Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Piazza di Porta S Donato 5, 40127 Bologna, Italy 
@article{SEDP_2001-2002____A14_0,
     author = {Graffi, Sandro},
     title = {M\'ethodes {KAM} pour les op\'erateurs de {Schr\"odinger} non autonomes},
     journal = {S\'eminaire \'Equations aux d\'eriv\'ees partielles (Polytechnique) dit aussi "S\'eminaire Goulaouic-Schwartz"},
     note = {talk:14},
     pages = {1--19},
     publisher = {Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz, \'Ecole polytechnique},
     year = {2001-2002},
     language = {fr},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/item/SEDP_2001-2002____A14_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Graffi, Sandro
TI  - Méthodes KAM pour les opérateurs de Schrödinger non autonomes
JO  - Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
N1  - talk:14
PY  - 2001-2002
SP  - 1
EP  - 19
PB  - Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/item/SEDP_2001-2002____A14_0/
LA  - fr
ID  - SEDP_2001-2002____A14_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Graffi, Sandro
%T Méthodes KAM pour les opérateurs de Schrödinger non autonomes
%J Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
%Z talk:14
%D 2001-2002
%P 1-19
%I Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
%U http://geodesic.mathdoc.fr/item/SEDP_2001-2002____A14_0/
%G fr
%F SEDP_2001-2002____A14_0
Graffi, Sandro. Méthodes KAM pour les opérateurs de Schrödinger non autonomes. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2001-2002), Exposé no. 14, 19 p. http://geodesic.mathdoc.fr/item/SEDP_2001-2002____A14_0/

[1] V.I. Arnold : Chapitres supplémentaires de la théorie des equations différentielles ordinaires. Mir (Moscou 1980). | Zbl | MR

[2] J.Bellissard, Stability and instability in quantum mechanics, In Trends and Developments in the Eighties, (S.Albeverio and Ph.Blanchard, Editors), World Scientific, Singapore 1985, pp.1-106. | Zbl | MR

[3] D.Bambusi, S.Graffi Time Quasi-periodic unbounded perturbations of Schrödinger operators and KAM methods , Commun.Math.Phys. 177, 327-347 (2001). | Zbl | MR

[4] M.Combescure, The quantum stability problem for time-periodic perturbation of the harmonic oscillator, An.Inst.H.Poincaré 47, 62-82 (1987) ; Erratum ibidem, 451-454. | Zbl | MR | mathdoc-id

[5] M.Dimassi, J.Sjöstrand, Spectral Asymptotics in the Semiclassical Limit, London Math.Soc.Lecture Notes Serie 268, Cambridge University Press 1999 | Zbl | MR

[6] P.Duclos, P.Stovicek, Floquet Hamiltonians with Pure Point Spectrum, Commun.Math.Phys. 177, 327-347 (1996) | Zbl | MR

[7] P.Duclos, P.Stovicek, M.Vittot : Perturbation of an eigen-value from a dense point spectrum : a general Floquet Hamiltonian. Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. 71 241–301 (1999). | Zbl | MR | mathdoc-id

[8] G.Gallavotti, The Elements of Mechanics, Springer-Verlag, 1983 | Zbl | MR

[9] S.Graffi, K.Yajima, Absolute Continuity of the Floquet Spectrum for a Nonlinearly Forced Harmonic Oscillator, Commun.Math.Phys., to appear | Zbl | MR

[10] G. Hagedorn, M. Loss, J. Slawny  : Non-stochasticity of time-dependent quadratic Hamiltonians and the spectra of canonical transformations, J.Phys.A 19, 521–531 (1986) | Zbl | MR

[11] J.Howland, Floquet Operators with Singular Spectrum, I, Ann.Inst.H.Poincaré 49, 309-323 (1989) ; II, ibidem, 325-334, (1989) | Zbl | MR | mathdoc-id

[12] H.R. Jauslin, F. Monti : Quantum Nekhoroshev theorem for quasi-periodic Floquet Hamiltonians. Rev. Math. Phys. 10 393–428 (1998). | Zbl | MR

[13] H.R. Jauslin, J.L. Lebowitz : Spectral and stability aspects of quantum chaos. Chaos 1 114–121 (1991). | Zbl | MR

[14] A.Jorba, C. Simó :On the reducibility of linear differential equations with quasiperiodic coefficients. J. Differential Equations 98 111–124 (1992). | Zbl | MR

[15] A.Joye, Absence of absolutely continuous spectrum of Floquet operators, J.Stat.Phys. 75, 929-952 (1994) | Zbl | MR

[16] T.Kappeler, J. Pöschel : Perturbation of KdV Equations – The KAM preuve. Preprint 1997.

[17] S.B. Kuksin : On small–denominator equations with large variable coefficients J. Appl. Math. Phys. (ZAMP) 48, 262–271, (1997). | Zbl | MR

[18] G.Nenciu, Floquet operators without absolutely continuous spectrum, Ann.Inst.H.Poincaré 59, 91-97 (1993) | Zbl | MR | mathdoc-id

[19] J. Pöschel : A KAM–Theorem for some Partial Differential Equations, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 23, 119–148 (1996). | Zbl | MR | mathdoc-id

[20] M.A.Shubin, Pseudodifférential Operators and Spectral Theory , Springer-Verlag 1987 | Zbl | MR

[21] J. Xu, Q. Zheng :On the reducibility of linear différential equations with quasiperiodic coefficients which are degenerate. Proc. Amer. Math. Soc. 126, 1445–1451 (1998). | Zbl | MR

[22] K.Yajima, Scattering Theory for Schrödinger Operators with Potentials Periodic in Time, J.Math.Soc.Japan 29, 729-743 (1977) | Zbl | MR