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A property of the uniform distributionon compact abelian groups with applications to characterization problems in probability
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 50 (1971) no. 2, pp. 151-155 Cet article a éte moissonné depuis la source Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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È noto che se una variabile casuale $\xi$ segue la distribuzione di Cauchy, allora per ogni numero reale $\gamma$ la variabile casuale (*) $\eta = (\xi + \gamma) / (1-\gamma \xi)$ segue anch'essa la distribuzione di Cauchy. Inversamente se per ogni numero reale $\gamma$, $\xi$ e $\eta$ sono identicamente distribuite come in (*) allora questa distribuzione è di Cauchy. William [7] ha provato che questo teorema è vero se la distribuzione di $\xi$ e $\eta$ è identica quando $\gamma$ non è la tangente di un multiplo razionale di $\pi$. In questa Nota noi proviamo che il risultato di William può derivare da certe proprietà delle variabili casuali uniformemente distribuite rispetto a gruppi abeliani compatti. Per questa via si ottengono le caratterizzazioni di altre distribuzioni. 
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[1] Aczél J., Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, N. Y. 1966. | MR | Zbl

[2] Grenander U., Probabilities on Algebraic Structures, John Wiley & Sons, N. Y. 1963. | MR | Zbl

[3] Halmos P. R., Measure Theory, D. Van Nostrand Co., N. Y. 1950. | MR

[4] Hocking J. G. and Young G. S., Topology, Addison Wesley Publishing Co., Reading, Mass. 1961. | MR

[5] Lindgren B. W., Statistical Theory, Macmillan Co., N.Y. 1960. | MR

[6] Parthasarathy K. R., Probability Measures on Metric Spaces, Academic Press, N.Y. 1967. | MR | Zbl

[7] Williams E. J., Cauchy-Distributed Functions and a Characterization of the Cauchy Distribution, «Annals of Mathematical Statistics» 40, No. 3, 1083-1085 (1969). | DOI | MR | Zbl