Minimal length coset representatives for quotients of parabolic subgroups in Coxeter groups

Stumbo, Fabio

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 3B (2000) no. 3, pp. 699-715

Résumé

In questo lavoro viene trovata un'espressione esplicita per i rappresentanti dei laterali di sottogrupi parabolici di gruppi di Coxeter aventi lunghezza minima: dato un sistema di Coxeter $(\mathbf{W}, S)$ ed un suo sottogruppo parabolico $(\mathbf{W}_{I} , I)$, con $I\subset S$, si determina esplicitamente in ogni laterale $\mathbf{W}_{I} w$ di $\mathbf{W}_{I}$ un elemento avente lunghezza minima. Nella sezione 2 trattiamo i casi classici, i.e. $\mathbf{W}=\mathbf{A}_{n}$, $\mathbf{B}_{n}$ e $\mathbf{D}_{n}$. Dopo ciò, nella sezione 3, diamo una procedura per risolvere il problema nei restanti casi eccezionali, insieme a qualche esempio. Nell'ultima sezione, applichiamo i risultati ottenuti alle fattorizzazioni del polinomio di Poincaré di un gruppo di Coxeter. Le espressioni trovate sono utili per scrivere algoritmi che permettano il calcolo su computer della coomologia dei gruppi di Artin, come osservato alla fine dell'articolo.