100 lat paradoksu Banacha-Tarskiego

Izabela Jóźwik ; Małgorzata Terepeta

Antiquitates Mathematicae, Tome 18 (2024), pp. 149-177.

Résumé

Jedną z najbardziej znanych konsekwencji pewnika wyboru jest paradoksalny rozkład kuli. Opisali go dwaj wybitni polscy matematycy Stefan Banach i Alfred Tarski, dlatego nazywany jest powszechnie paradoksem Banacha-Tarskiego. 100 lat temu, w 1924 roku, w Fundamenta Mathematicae opublikowali oni artykuł, który jest ich jedyną wspólną pracą. Przedstawili w nim twierdzenie, które najczęściej jest formułowane następująco: Trójwymiarową kulę K można „rozciąć” na skończoną liczbę części, z których, używając wyłącznie przesunięć i obrotów, można złożyć dwie kule o tym samym promieniu co kula K . Teza twierdzenia jest absolutnie sprzeczna z naszą intuicją, ponieważ z jednej strony w wyniku rozcinania, przesunięcia, obracania i składania następuje podwojenie objętości kuli, z drugiej strony użyte operacje przesunięcia i obrotu są izometriami, zatem zachowują objętość brył. Istotą problemu jest to, że części, na które dzielona jest kula, są zbiorami niemierzalnymi (w sensie Lebesgue’a), tj. nie mają objętości i nie stosuje się do nich addytywność miary, zgodnie z którą suma miar rozłącznych zbiorów mierzalnych jest miarą sumy mnogościowej tych zbiorów. W swoim artykule przypomnimy oryginalną pracę Banacha i Tarskiego, opowiemy o kilku wcześniejszych paradoksach matematycznych oraz przedstawimy konsekwencje paradoksu Banacha-Tarskiego. Naszym zamiarem nie jest szczegółowe przedstawienie historii tego paradoksu, a raczej przypomnienie go z okazji 100-lecia jego publikacji oraz pokazanie, że był inspiracją nie tylko dla matematyków, ale także osób zajmujących się religią, literaturą, muzyką, giełdą.

Détail

DOI : 10.14708/am.v18i1.7328

Classification : 01A60;01A70;01A73
Mots-clés : matematyka i matematycy XX wieku w Polsce, paradoks Banacha-Tarskiego, paradoksalny rozkład kuli