Pour cheque réel constructif $p$, $p\geq1$, on construct un espace constructif non séparable $B_p$, formellement proche de l'espace correspondant des fonctions presque-périodiques de Bésicovitch. On établit que toute fonction numérique constructive sur l'espace $B_p$ est continue et que toute fonction numérique constructive non eonstante sur l'espace des polynômes trigonométriques, muni de la topologie induite par l'espace $B_2$, est discontinue en cheque point оu elle est définie. Il en résulte que toute fonction numérique constructive sur $B_2$ est constante. On établit un résultat analogue pour les formes linéaires sur l'espace $B_1$. Ce théorème de continuité des fonctions numériques constructives sur l'espaee $B_p$ se généralise aux applications constrictives d'eapaces topologiques de certaines classes comprenant des espaces non séparables. Dans ce but, on introduit la notion d'espace constructif localement vaguement séparable. On établit que toute application constructive d'un espace localement vaguement séparable à structure topologique gerbée (cf.[4]) dans un espace topologique constructif $M$-regulier est continue.