Es wird das Supremum $\overline Y=\sup_{n\ge 0}Y_n$ einer zufälligen Irrfahrt $\{Y_n\}$ auf einer Markowkette $\{\varkappa_n\}$ mit endlichen Zustandsraum $\{1,\dots,N\}$ betrachtet. Hierbei ist $$ Y_0=0,Y_{n+1}=Y_n+\xi_{\varkappa_n,\varkappa_{n+1}}^{n+1}\quad(n\ge 0),\ \{\xi_{k,j}^n\}_{k,j=1\div N}^{n\ge 1} $$ eine von $\{\varkappa_n\}$ unabhängige Familie von Zufallsgrößen, die in jeder Folge $\{\xi_{k,j}^n\}^{n\ge 1}$, $k$, $j=1\div N$, identisch verteilt sind. Die Asymptotik der Funktionen $\mathbf P\{\overline Y>x\mid \varkappa_0=k\}$, $k=1\div N$, für $x\to\infty$ wird mittels der Komponenten der Faktorisation der Matrix $I-A(\mu)$ wobei $$ A(\mu)=\|\mathbf M\{e^{i\mu Y_1},\varkappa_1=j\mid \varkappa_0=k\}\|, $$ $I$ die Einheitsmatrix ist, angegeben. In Abhängigkeit vom Verhalten des maximalen Eigenwerts $\lambda(\mu)$ der Matrix $A(-i\mu)$ erhält man verschiedene Asymptotiken.