The History of Algebraic Number Theory and Its Reflection at the International Congresses of Mathematicians

H. Koch

Informatics and Automation, Number theory, algebra, and algebraic geometry, Tome 241 (2003), pp. 110-121.

Résumé

A historical survey of the development of algebraic number theory and arithmetic geometry is given by an example of lectures delivered at plenary sessions of the International Congresses of Mathematicians in the 20th century.

Bibliographie

[1] Abrashkin V. A., “$p$-Delimye gruppy nad $\mathbb{Z}$”, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 41:5 (1977), 987–1007 | MR | Zbl

[2] Mathematical developments arising from Hilbert problems, Proc. Symp. Pure Math., 28, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1976 | Zbl

[3] Artin E., “Quadratische Körper im Gebiet der höheren Kongruenzen, I, II”, Math. Ztschr., 19 (1924), 153–246 | DOI | MR | Zbl

[4] Artin E., “Über eine neue Art von $L$-Reihen”, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 3 (1924), 89–108 | DOI

[5] Artin E., “Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes”, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 5 (1927), 353–363 | DOI | Zbl

[6] Acad. Press, New York, 1966 | MR | Zbl

[7] Brückner H., “Eine explizite Formel zum Reziprozitätsgesetz für Primzahlexponenten $p$”, Algebraische Zahlentheorie, Math. Forschungsinst, Tagungsber, Oberwolfach, 1964

[8] Chevalley C., “Sur la théorie des restes normiques”, C. R. Acad. Sci. Paris, 191 (1930), 426–442

[9] Chevalley C., “Sur la théorie du corps de classes dans les corps finis et les corps locaux”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. 12, 1933, 365–476 | Zbl

[10] Chevalley C., “Généralisation de la théorie du corps de classes pour les extensions infinies”, J. Math. Pures et Appl., 15 (1936), 359–371 | Zbl

[11] Chevalley C., “La théorie du corps de classes”, Ann. Math., 41 (1940), 394–418 | DOI | MR | Zbl

[12] Chebotarev N., “Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen, welche zu einer gegebenen Substitionsklasse gehören”, Math. Ann., 95 (1926), 191–228 | DOI | MR

[13] Deligne P., “Travaux de Shimura”, Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/71), Exp. No. 389, Lecture Notes in Math., 244, Springer, Berlin, 1971, 123–165 | MR

[14] Deligne P., “La conjecture de Weil”, Publ. Math. IHES, 1974, no. 43, 273–307 | MR

[15] Eichler M., Einführung in die Theorie der algebraischen Zahlen und Funktionen, Birkhäuser, Basel, 1963 | MR | Zbl

[16] Faltings G., “Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern”, Invent. Math., 73 (1983), 349–366 | DOI | MR | Zbl

[17] Fontaine J.-M., “Il n'y a pas de variété abélienne sur $\mathbb{Z}$”, Invent. Math., 81 (1985), 515–538 | DOI | MR | Zbl

[18] Fueter R., “Abelsche Gleichungen in quadratisch-imaginären Zahlkörpern”, Math. Ann., 75 (1914), 177–255 | DOI | MR

[19] Furtwängler P., “Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers”, Math. Ann., 63 (1907), 1–37 | DOI | MR | Zbl

[20] Furtwängler P., “Beweis des Hauptidealsatzes für Klassenkörper algebraischer Zahlkörper”, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 7 (1930), 52–57

[21] Golod E. S., Shafarevich I. R., “O bashne polei klassov”, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 28:2 (1964), 261–272 | MR | Zbl

[22] Grothendieck A., “Fondements de la géométrie algébrique”, Sém. Bourbaki, Paris, 1957

[23] Haberland K., Galois cohomology of algebraic number fields, VEB Dtsch. Verl. Wiss., Berlin, 1978 | MR | Zbl

[24] Hasse H., “Über die Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen im Körper der rationalen Zahlen”, J. Reine und Angew. Math., 152 (1922), 129–148

[25] Hasse H., “Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen in einem beliebigen algebraischen Zahlkörper”, J. Reine und Angew. Math., 153 (1924), 113–130

[26] Hasse H., “Die Normenresttheorie relativ-abelscher Zahlkörper als Klassenkörpertheorie im Kleinen”, J. Reine und Angew. Math., 162 (1930), 145–154 | Zbl

[27] Hasse H., “Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-abelscher Zahlkörper”, J. Reine und angew. Math., 162 (1930), 169–184 | Zbl

[28] Hasse H., “Über $p$-adische Schiefkörper und ihre Bedeutung für die Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme”, Math. Ann., 104 (1931), 495–534 | DOI | MR | Zbl

[29] Hasse H., “Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppen über einem algebraischen Zahlkörper”, Math. Ann., 107 (1933), 731–760 | DOI | MR | Zbl

[30] Hasse H., “Beweis des Analogons der Riemannschen Vermutung für die Artinschen und F. K. Schmidtschen Kongruenzzetafunktionen in gewissen elliptischen Fällen. Vorl. Mitt.”, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl. I, 1933, no. 42, 253–262 | Zbl

[31] 1979 | MR

[32] Hasse H., “History of class field theory”, Algebraic number theory, eds. J. W. S. Cassels, A. Fröhlich, Acad. Press, London, 1967, 266–279 | MR

[33] Haubrich R., Zur Entstehung der algebraischen Zahlentheorie Richard Dedekinds, Diss. Univ. Göttingen, 1992 | Zbl

[34] Hecke E., “Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Beziehung zur Verteilung der Primzahlen, I, II”, Math. Ztschr., 1 (1918), 357–367 | DOI | MR

[35] Hilbert D., “Über die Theorie der relativen Abelschen Zahlkörper”, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1898, 377–399

[36] Hochschild G., “Local class field theory”, Ann. Math., 51 (1950), 331–347 | DOI | MR | Zbl

[37] Herbrand J., “Sur les théorèmes du genre principal et des idéaux principaux”, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 9 (1932), 84–92 | DOI | Zbl

[38] Iwasawa K., “On Galois groups of local fields”, Trans. Amer. Math. Soc., 80 (1955), 448–469 | DOI | MR | Zbl

[39] Iwasawa K., “On $\Gamma$-extensions of algebraic number fields”, Bull. Amer. Math. Soc., 65 (1959), 183–226 | DOI | MR | Zbl

[40] Iwasawa K., “On some properties of $\Gamma$-finite modules”, Ann. Math., 70 (1959), 291–312 | DOI | MR | Zbl

[41] Iwasawa K., “On the theory of cyclotonic fields”, Ann. Math., 70 (1959), 530–561 | DOI | MR | Zbl

[42] Kato K., “A generalization of local class field theory by using $K$-groups, I, II, III”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA, 26 (1979), 303–376 ; 27 (1980), 603–683 ; 29 (1982), 31–43 | MR | Zbl | MR | Zbl | MR | Zbl

[43] Koch H., “The history of the theorem of Shafarevich in the theory of class formations”, Class field theory—its centenary and prospect, Adv. Stud. Pure Math., 30, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2001, 87–105 | MR | Zbl

[44] Kronecker L., Über Abelsche Gleichungen, Preuss. Akad. Wiss., Sitzungsber, 1877

[45] Kronecker L., “Letter to R. Dedekind of March 15, 1880”, Werke, v. 5, Teubner, Leipzig, 1930, 453–458

[46] Kronecker L., Zur Theorie der elliptischen Funktionen, I–XXII, Preuss. Akad. Wiss., Sitzungsber, 1833–1890

[47] Krull W., “Galoissche Theorie der unendlichen algebraischen Erweiterungen”, Math. Ann., 100 (1928), 687–698 | DOI | MR | Zbl

[48] Langlands R. P., “Problems in the theory of automorphic forms”, Lect. Notes Math., 170, 1970, 18–61 | MR | Zbl

[49] Lubin J., Tate J., “Formal complex multiplication in local fields”, Ann. Math., 81 (1965), 380–387 | DOI | MR | Zbl

[50] Milne J. S., Arithmetic duality theorems, Acad. Press, Boston etc., 1986 | MR | Zbl

[51] Mordell L. J., “On the rational solutions of the indeterminate equations of the 3rd and the 4th degree”, Proc. Cambridge Phil. Soc., 21 (1922), 179–192

[52] Nakayama T., “Über die Beziehungen zwischen den Faktorensystemen und der Normklassengruppe eines galoisschen Erweiterungskörpers”, Math. Ann., 112 (1936), 85–91 | DOI | MR

[53] Nakayama T., “Factor system approach to the isomorphism and reciprocity theorems”, J. Math. Soc. Japan, 3 (1951), 52–57 | DOI | MR

[54] Parshin A. N., “Polya klassov i algebraicheskaya $K$-teoriya”, UMN, 30:1 (1975), 253–254 | MR | Zbl

[55] Parshin A. N., “K arifmetike dvumernykh skhem. I: Raspredeleniya i vychety”, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 40:4 (1976), 736–773 | MR | Zbl

[56] Poitou G., Cohomologie galoisienne des modules finis, Dunod, Paris, 1967 | MR | Zbl

[57] Borel A. Casselman W. (eds.), Automorphic forms, representations, and $L$-functions, Proceedings of the Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society (Twenty-fifth Summer Research Institute), Part 1, 2 (Oregon State University, Corvallis, Ore., July 11–August 5, 1977), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, XXXIII, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1979

[58] Roquette P., “On class field towers”, Algebraic number theory, eds. J. W. S. Cassels, A. Fröhlich, Acad. Press, London, 1967, 231–249 | MR

[59] Serre J.-P., Cohomologie galoisienne, Lect. Notes Math., 5, Springer, Berlin, 1964

[60] Shafarevich I. R., “O gruppakh Galua $y$-adicheskikh polei”, DAN SSSR, 53:1 (1946), 15–16 | MR | Zbl

[61] Shafarevich I. R., “O $p$-rasshireniyakh”, Mat. sb., 20:2 (1947), 351–363 | MR | Zbl

[62] AMS Transl. Ser. 2, 4, 1956, 73–106 | Zbl | Zbl

[63] Shafarevich I. R., “O postroenii polei s zadannoi gruppoi Galua poryadka $l^{\alpha}$”, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 18:3 (1954), 261–296 | Zbl

[64] Shafarevich I. R., “Postroenie polei algebraicheskikh chisel s zadannoi razreshimoi gruppoi Galua”, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 18:6 (1954), 525–578 | Zbl

[65] AMS Transl. Ser. 2, 59, 1966, 128–149 | Zbl

[66] Tagaki T., “Über eine Theorie des relativ-abelschen Zahlkörpers”, J. Colloq. Sci. Imper. Univ. Tokyo, 41 (1920), 1–133

[67] Tate J., “The higher dimensional cohomology groups of class field theory”, Ann. Math., 56 (1952), 293–297 | DOI | MR

[68] Taylor R., Wiles A., “Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras”, Ann. Math., 141:3 (1995), 553–572 | DOI | MR | Zbl

[69] Vinberg E. B., “K teoreme o beskonechnomernosti assotsiativnoi algebry”, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 29:1 (1965), 209–214 | MR | Zbl

[70] Vostokov S. V., “Yavnaya forma zakona vzaimnosti”, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 42:6 (1978), 1288–1321 | MR | Zbl

[71] Weber H., “Über Zahlengruppen in algebraischen Körpern, I, II, III”, Math. Ann., 48 (1897), 433–473 ; 49, 83–100 ; 50 (1898), 1–26 | DOI | MR | DOI | MR | DOI | MR | Zbl

[72] Weil A., “L'arithmétique sur les courbes algébriques”, Acta Math., 52 (1928), 281–315 | DOI | MR

[73] Weil A., “On the Riemann Hypothesis in function fields”, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 27 (1941), 345–347 | DOI | MR | Zbl

[74] Weil A., Foundations of algebraic geometry, AMS Colloq. Publ., 29, Amer. Math. Soc., New York, 1946 | MR | Zbl

[75] Weil A., “Number of solutions of equations in finite fields”, Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 497–508 | DOI | MR | Zbl

[76] Weil A., “Sur la théorie du corps de classes”, J. Math. Soc. Japan, 3 (1951), 1–35 | DOI | MR | Zbl

[77] Weyl H., Algebraic theory of numbers, Princeton Univ. Press, Princeton, 1940 | MR

[78] Wiles A., “Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem”, Ann. Math., 141:3 (1995), 443–551 | DOI | MR | Zbl