Ideals and Quotients of B-Quasisymmetric Polynomials

Jean-Christophe Aval

Séminaire lotharingien de combinatoire, Tome 54 (2006-2007)

Résumé

The space QSym_n(B) of B-quasisymmetric polynomials in 2 sets of n variables was recently studied by Baumann and Hohlweg [Trans. Amer. Math. Soc., to appear]. The aim of this work is a study of the ideal QSym_n(B)⁺> generated by B-quasisymmetric polynomials without constant term. In the case of the space QSym_n of quasisymmetric polynomials in 1 set of n variables, Aval, Bergeron and Bergeron [Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), 1053-1062; Adv. in Math. 181 (2004), 353-367] proved that the dimension of the quotient of the space of polynomials by the ideal QSym_n⁺> is given by Catalan numbers $ C_n=\frac 1 {n+1} {\binom {2n} n}$. In the case of B-quasisymmetric polynomials, our main result is that the dimension of the analogous quotient is equal to $ \frac{1}{2n+1}{\binom {3n} n}$, the numbers of ternary trees with n nodes. The construction of a Gröbner basis for the ideal, as well as of a linear basis for the quotient are interpreted by a bijection with lattice paths. These results are finally extended to p sets of variables, and the dimension is in this case $ \frac{1}{pn+1}{\binom {(p+1)n} n}$, the number of p-ary trees with n nodes.

Résumé. L'espace QSym_n(B) des polyn�mes B-quasisymétriques en deux ensembles de n variables a été récemment étudié par Baumann et Hohlweg [Trans. Amer. Math. Soc., à paraître]. Nous considérons ici l'idéal QSym_n(B)⁺ engendré par les polyn\^omes B-quasi\-symé\-triques sans terme constant. Dans le cas de l'espace QSym_n des polyn\^omes quasisymétri\-ques en 1 ensemble de n variables, Aval, Bergeron et Bergeron [Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), 1053-1062; Adv. in Math. 181 (2004), 353-367] ont montré que la dimension du quotient de l'espace des polyn\^omes par l'idéal QSym_n⁺ est donnée par les nombres de Catalan $ C_n=\frac 1 {n+1} {\binom {2n} n}$. Dans le cas des polyn\^omes B-quasisymétri\-ques, notre principal résultat est que la dimension du quotient analogue est ici $ \frac{1}{2n+1}{\binom {3n} n}$, à savoir le nombre d'arbres ternaires à n noeuds. Nous construisons une base de Gröbner pour l'idéal, de même qu'une base du quotient, toutes deux explicites et en bijection avec des chemins. Nous étendons enfin ces résultats � p ensembles de variables, et montrons que dans ce cas la dimension est $ \frac{1}{pn+1}{\binom {(p+1)n} n}$, le nombre d'arbres p-aires à n noeuds.