De l'algèbre des \zeta de Riemann multivariées à l'algèbre des \zeta de Hurwitz multivariées

Hoang Ngoc Minh ; Gérard Jacob ; Michel Petitot ; Nour Eddine Oussous

Séminaire lotharingien de combinatoire, Tome 44 (2000-2001)

Résumé

The theory of noncommutative rational power series allows to express as iterated integrals some generating series associated to polylogarithms and polyzetas, also called MZV's (multiple zeta values: a generalization of the Riemann \zeta function). We introduce the Hurwitz polyzetas, as a multivalued generalization of the classical Hurwitz \zeta function. They are in fact generating series of the classical polyzetas in commuting variables. Based on the shuffle product of noncommutative rational series, explicit formulae are given for computing the product of these generating series. We define also another shuffle product for the Hurwitz polyzetas. This structure allows us to produce a new algorithm for computing the coloured polyzetas relations, by mean of Dirichlet generating series associated to the periodic sequences of numbers. Concerning the regularization of divergent polyzetas, we give explicit syntaxic formulae based on the combinatorics of words. As application we compute the Arakawa-Kaneko integrals in terms of polyzetas.

Résumé. La théorie des séries rationnelles en variables non commutatives permet d'exprimer sous forme d'intégrales itérées certaines séries génératrices associées aux polylogarithmes et aux polyzêtas, ou MZV's (multiple zeta values : une généralisation de la fonction \zeta de Riemann). Nous introduisons les polyzêtas de Hurwitz, qui généralisent la fonction \zeta de Hurwitz classique. Ils apparaissent comme des séries génératrices des polyzêtas en variables commutatives. En nous basant sur le produit de mélange des séries rationnelles, nous donnons des formules explicites pour calculer les produits de ces séries génératrices. Nous explicitons également un autre produit de mélange pour les polyzêtas de Hurwitz. Cette structure permet d'obtenir un nouvel algorithme de génération des relations entre les polyzêtas colorés par l'intermédiaire des séries génératrices de Dirichlet associées aux suites périodiques de nombres. En ce qui concerne la régularisation des polyzêtas divergents, nous obtenons des formules syntaxiques explicites utilisant la combinatoire des mots. En application, nous calculons les intégrales d'Arakawa-Kaneko en termes de polyzêtas.