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Area of a triangle and angle bisectors
Sibirskie èlektronnye matematičeskie izvestiâ, Tome 17 (2020), pp. 732-737.

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Consider a triangle $ABC$ with given lengths $l_a,l_b,l_c$ of its internal angle bisectors. We prove that in general, it is impossible to construct a square of the same area as $ABC$ using a ruler and compass. Moreover, it is impossible to express the area of $ABC$ in radicals of $l_a,l_b,l_c$.
Keywords: area of a triangle, angle bisectors, solution in radicals.
Mots-clés : ruler and compass construction, Galois group of a polynomial, algebraic equation 
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A. A. Buturlakin; S. S. Presnyakov; D. O. Revin; S. A. Savin. Area of a triangle and angle bisectors. Sibirskie èlektronnye matematičeskie izvestiâ, Tome 17 (2020), pp. 732-737. http://geodesic.mathdoc.fr/item/SEMR_2020_17_a53/

[1] P. Barbarin, “Construire un triangle dont les bissectrices sont données”, Mathesis, (2), 6 (1896), 143–160 | Zbl

[2] H. Brocard, “Question 58”, Nouvelle Correspondance Math., 1 (1875), 208

[3] W. Bosma, J. Cannon, C. Playoust, “The Magma algebra system. I. The user language”, J. Symb. Comput., 24:3–4 (1997), 235–265 | DOI | MR | Zbl

[4] G. Dinca, J. Mawhin, “A constructive fixed point approach to the existence of a triangle with prescribed angle bisector lengths”, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, 17:2 (2010), 333–341 | DOI | MR | Zbl

[5] G. Eisenstein, “Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt. I”, J. Reine Angew. Math., 39 (1850), 160–179 | MR | Zbl

[6] A. Korselt, “Ueber die Unmölichkeit der Construction eines Dreiecks aus den drei Winkelhalbirenden. Ein Dreieck lässt sich im allgemeinen nicht geometrisch aus den Winkelhalbirenden zeichnen”, Hoffmann Z., 28 (1897), 81–83 | Zbl

[7] Yu.I. Manin, “On solvability of problems of ruler and compass construction problems”, Encyclopaedia of elementary mathematics, v. IV, Nauka, M., 1963, 205–227

[8] P. Mironescu, L. Panaitopol, “The existence of a triangle with prescribed angle bisector lengths”, Am. Math. Mon., 101 (1994), 58–60 | DOI | MR | Zbl

[9] C. Gudermann, J. Plücker, “Aufgaben und Lehrsätze, erstere zu beweisen, letztere aufzulösen”, J. Reine Angew. Math., 6:2 (1830), 210–214 | MR

[10] M.M. Postnikov, Foundations of Galois Theory, Dover Publications, Mineola, 2004 | MR | Zbl

[11] A. von Renthe-Fink, “Versuch der Auflösung der Aufgabe Nr. 12. im 6ten Bande S. 214 dieses Journals: Aus den drei, die Winkel eines geradlinigen Dreiecks halbirenden Scheitellinien den Inhalt desselben zu finden”, J. Reine u. Angew. Math., 26:3 (1843), 273–276 | MR | Zbl

[12] B.L. van der Waerden, “Über die Bestimmung eines Dreiecks aus seinen Winkelhalbierenden”, J. Reine u. Angew. Math., 179 (1938), 65–68 | MR | Zbl

[13] H. Wolff, “Über die Bestimmung eines ebenen Dreiecks aus seinen Winkelhalbierenden”, J. Reine u. Angew. Math., 177 (1937), 134–151 | MR | Zbl

[14] A. Zhukov, I. Akulich, “Is the triangle uniquely defined”, Kvant, 2003, no. 1, 29–31 (in Russian)