Homogénéisation et limite de diffusion pour une équation de transport

Allaire, Grégoire¹ 

¹ Centre de Mathématiques Appliquées, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex

Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2001-2002), Exposé no. 13, 12 p.

Résumé

Nous étudions l’homogénéisation d’une équation de transport dans un milieu périodique de période $ϵ$. Cette équation est un problème aux valeurs propres qui modélise l’équilibre d’une densité de particules réagissant avec un milieu sous-jacent. Le libre parcours moyen des particules est supposé être aussi de taille $ϵ$, ce qui entraîne que le modèle limite est une équation de diffusion. Lorsque les coefficients sont purement périodiques, on obtient une équation homogénéisée posée dans tout le domaine, tandis que si les les coefficients sont périodiques modulés par une variation spatiale macroscopique il se produit un phénomène de localisation pour lequel l’équation homogénéisée est, après un changement d’échelle en $\sqrt{ϵ}$, l’équation de l’oscillateur harmonique dans tout l’espace. Le principal résultat présenté ici a été obtenu en collaboration avec G. Bal et V. Siess (voir [3] pour des démonstrations détaillées).