Le frazioni Egizie nella didattica

Cerasaro, Silvia ; Tomassi, Laura

Matematica, cultura e società, Série 1, Tome 8 (2023) no. 2, pp. 157-173.

Riassunto (VO)

Ogni numero razionale si può scrivere come somma di frazioni unitarie, cioè come “frazione egizia”, mediante un procedimento chiamato `disgregazione'. Sono illustrati alcuni spunti di origine storica, applicati in attività didattiche relative all'apprendimento della nozione di frazione e di numero razionale nella scuola secondaria di primo grado o nel primo biennio di secondo grado. L'argomento proposto permette, inoltre, di avvicinare e illustrare un problema aperto nella matematica attuale. I testi storici forniscono l'indicazione di varie applicazioni. Nel papiro di Rhind si trovano problemi di divisione di merci tra un certo numero di persone con il vincolo di fare la divisione più facile da realizzare in pratica; nel caso in cui la divisione riguardava terreni, disgregare doveva corrispondere a realizzare la divisione non solo più semplice ma anche più equa e con il minor numero di tagli degli appezzamenti. La soluzione corrispondeva alla somma di un certo numero di unità frazionarie. Una dimostrazione dell'esistenza delle disgregazioni e una illustrazione motivata su metodi di calcolo sono presenti nel Liber Abaci di Fibonacci. Vengono illustrati diversi algoritmi basati sulle frazioni continue ascendenti e discendenti, sottolineando la loro presenza storica in epoca ellenistica e medievale. Con tale studio è possibile comprendere gradualmente il concetto di approssimazione ad un dato numero razionale attraverso i suoi convergenti, considerando la rappresentazione grafica su un piano cartesiano di un numero razionale mediante i cerchi di Ford, oppure rappresentando un numero razionale a/b come un vettore (b, a) su un piano reticolato, tenendo in considerazione i risultati di Farey e Pick. Vedere graficamente come “arrivare” per piccoli passi ad un dato numero razionale, ottenendolo come somma di frazioni unitarie, permette di comprendere il concetto di convergenza a livello percettivo, in continuità con quanto affermato dagli studi neuroscientifici.

Abstract

Every rational number can be written as the sum of unit fractions, ie as an 'Egyptian fraction', by a process called `disintegration'. Some ideas of historical origin are illustrated, applied in didactic activities related to learning the notion of fraction and rational number in lower secondary school or in the first two years of upper secondary school. The proposed topic also allows us to approach and illustrate an open problem in current mathematics. Historical texts provide indication of various applications. Problems of dividing goods among anumber of people are found in the Rhind papyrus with the constraint of making the dividing easier to do in practice; in the case in which the division concerned land, disaggregating had to correspond to making the division not onlys impler but also more equitable and with the least number of cuts of the plots. The solution corresponded to the sum of a certain number of fractional units. A demonstration of the existence of disintegrations and a reasoned illustration on calculation methods can be found in Fibonacci's Liber Abaci. Several algorithms based on ascending and descending continued fractions are illustrated, emphasizing their historical presence in Hellenistic and medieval times. With this study it is possible to gradually understand the concept of approximation to a given rational number through its convergents, considering the graphic representation on a Cartesian plane of a rational number using Ford circles, or representing a rational number a/b as a vector (b, a) on a grid plane, taking intoconsideration the results of Farey and Pick. Graphically seeing how to “get” to a given rational number in smallsteps, obtaining it as the sum of unit fractions, allows us to understand the concept of convergence at a perceptual level, in continuity with what has been affirmed by neuroscientific studies.ì

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