ZF cento anni fa

Lolli, Gabriele

Matematica, cultura e società, Série 1, Tome 7 (2022) no. 1, pp. 5-33.

Riassunto (VO)

Cento anni fa, nel 1922, si è conclusa la laboriosa ricerca di un sistema di assiomi che caratterizzasse una nuova disciplina, la teoria degli insiemi, coronando un processo di sviluppo di circa cinquanta anni, dal primo lavoro di Cantor nel 1874 sulla esistenza di almeno due infiniti diversi, il numerabile e il continuo. A completamento degli assiomi di Ernst Zermelo del 1908, Thoralf Skolem e Abraham Fraenkel indipendentemente proposero l'assioma di rimpiazzamento, che garantiva un'estensione sufficiente dell'universo degli insiemi,facendo sì che la teoria diventasse nel Novecento un quadro generale per tutta la matematica allora conosciuta. La difficoltà nel concepire l'assioma mancante si è capito a posteriori che consisteva nella necessità di esprimere nel linguaggio insiemistico un concetto di applicazione che fosse una estensione di quello di funzione intesa come insieme di coppie ordinate. Il logico Skolem non ha avuto difficoltà a trovare la soluzione, mentre Fraenkel ha dovuto essere aiutato da von Neumann a chiarire il nuovo concetto. Ma nello stesso tempo l'esito suggerisce che la pura teoria degli insiemi nonsia del tutto adeguata per il concetto di funzione.

Abstract

One hundred years ago the search for an axiom system for the new theory of sets was completed, almost fifty years after the first Cantor's discovery in 1874 of the existence of two different actual infinities, the numerabile and the continuum. To Zermelo's 1908 axioms, in 1922, Thoralf Skolem and Abraham Fraenkel independently added the axiom of replacement, that guarantees a sufficient extension for the universe of sets; on this basis the theory could purport in the twentieth century to be a framework of all of known mathematics. It became clear after the fact that the difficulty to conceive the new axiom depended on the necessity of expressing in the set theoretic language a concept of application that was more general than that of a function defined as a set of ordered pairs. While logicians as Skolem and John von Neumann were quick to see an answer, Fraenkel had to be helped by the latter. But the upshot suggests that pure set theory could be not enough to grasp the concept of function.

Bibliographie

[Aczel 1988] P. Aczel “Non Well Founded Sets”, CLSI Lecture Notes No 14, Stanford University, 1988. | MR | Zbl

[Boole 1854] G. Boole, An Investigation of the Laws of Thought, On Which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, Walton and Maberley, London, 1854, Dover, New York, 1951; trad. it. Indagini sulle leggi del pensiero, su cui sono fondate le teorie matematiche della logica e della probabilità (a cura di M. Trinchero), Einaudi, Torino, 1976. | MR

[Borel 1898] E. Borel, Lecons sur la Théorie des Fonctions, Gauthier-Villars, Paris, 1898. | Zbl

[Bourbaki 1949] N. Bourbaki, “Foundations of Mathematics for the Working Mathematician”, Journal of Symbolic Logic, 14 (1949), n. 1, pp. 1-8. | DOI | MR | Zbl

[Burali-Forti 1896] C. Burali-Forti, “Le classi finite”, Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, 32 (1896), pp. 34-52. | Zbl

[Cantor 1874] G. Cantor, “Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”, Journal fur die reineund angewandte Mathematik (Crelle), 77 (1874), pp. 258-62. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[Cantor 1878] G. Cantor, “Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre”, Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelle), 84 (1878), pp. 242-58. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[Cantor 1879-84] G. Cantor, “Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten”, Mathematische Annalen, 15 (1879), pp. 1-7; 17 (1880), pp. 355-358; 20 (1882), pp. 113-121; 21 (1883), pp. 51-58 e 545-591; 23 (1884), 453-88. | DOI | MR

[Cantor 1883] G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Teubner, Leipzig, 1883, pubblicazione separata della parte 5 di [Cantor 1879-84].

[Cantor 1895-97] G. Cantor, “Beiträge zur Begrundung dertransfiniten Mengenlehre”, Mathematische Annalen, 46 (1895), pp. 481-512 e 49 (1897), pp. 207-246; trad. ingl. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers (a cura di Ph. E. B. Jourdain), Dover, New York, 1915; trad. it. parziale in F. Arzarello (a cura di), Matematica dell'infinito, 2 voll. CLUE, Torino, 1980, pp. 273-333 e G. Cantor, La Formazione della Teoria degli Insiemi (Scritti 1872-1899) (a cura di G. Rigamonti), Sansoni, Firenze, 1992. | fulltext EuDML | DOI | MR

[Cellucci 1978] C. CELLUCCI (a cura di), Il paradiso di Cantor, Bibliopolis, Napoli, 1978.

[De Giorgi-Forti-Lenzi 1994] E. De Giorgi, M. Forti, e G.LENZI, “Una proposta di teorie base dei Fondamenti della Matematica”, Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni Serie 9 vol.5 (1994), fasc. n.1, pp. 11-22. | fulltext EuDML

[Dieudonné 1939] J. Dieudonné, “Les méthodes axiomatiques modernes et les fondements des mathématiques”, Revue Scientifique, LXXVI, 1939, pp. 224-232; ristampato in [LELIONNAIS 1962, pp. 543-555].

[Ebbinghaus 2007] H.-D. Ebbinghaus (con V. Peckhaus), Ernst Zermelo, Springer, Berlin, 2007. | MR

[Ewald 1996] W. B. Ewald, From Kant to HILBERT, 2 voll., Oxford Univ. Press, Oxford, 1996. | MR

[Ferreirós 2007] J. Ferreirós, Labyrinth of Thought, Birkhäuser, Basel, 2007. | MR | Zbl

[Finsler 1926] P. Finsler, “Über die Grunglegung der Mengenlehre. Erste Teil”, Mathematische Zeitschrift, 25 (1926), pp. 683-713. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[Fraenkel 1919] A. A. Fraenkel, Einleitung in die Mengelehre, Springer, Berlin, 1919, 19232, 19283. | fulltext EuDML | DOI | MR

[Fraenkel 1921] A. A. Fraenkel, “Über die Zermelosche Begründung der Mengenlehre”, Jahresbericht der DMV,30 (1921), pp. 97-98. | Zbl

[Fraenkel 1922a] A. A. Fraenkel, “Zu der Grundlagen der Mengenlehre”, Jahresbericht der DMV , 31 (1922), pp. 101-102. | Zbl

[Fraenkel 1922b] A. A. Fraenkel, “Der Begriff `definit' unddie Unabhangigkeit des Auswahlsaxiom”, Sitzungsberichteder Prussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalischmathematische Klasse, 1922, pp. 253-257; trad. ingl. in [van Heijenoort 1967, pp. 284-9].

[Fraenkel 1928] A. A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre, Springer, Berlin, 19283. | fulltext EuDML | MR | Zbl

[Gödel 1938] K. Gödel, “The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis”, Proceedings of the National Academy of Science, U.S.A. 24, 1938, pp. 556-557, trad. it. in [Gödel 2002, pp. 28-9]. | DOI | MR | Zbl

[Gödel 1946] K. Gödel, “Remarks before the Princeton bicentennial conference on problems in mathematics”, in Collected works, vol. II, Oxford Univ. Press, New York, 1990, pp.150-153.; trad. it. “Osservazioni svolte al convegno del bicentenario di Princeton sui problemi della matematica”, in [Gödel 2002, pp. 152-6].

[Gödel 2002] K. Gödel, Opere, vol. 2, Bollati Boringhieri,Torino, 2002.

[Grassmann 1844] H. G. Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre, Teubner, Leipzig, 1844.

[Hankel 1967] H. Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, L. Voss, Leipzig, 1867.

[Hartogs 1915] F. Hartogs, “Über das Problem der Wohlordnung”, Mathematische Annalen, 76 (1915), pp. 438-443. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[Harward 1905] A. E. Harward, “On the transfinite numbers”, Philosophical Magazine, 6 (1905), n. 10, pp. 439-460. | Zbl

[Hausdorff 1908] F. Hausdorff, “Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen”, Mathematische Annalen, 65 (1908),pp. 435-505. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[Hausdorff 1914] F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, Veit, Leipzig, 1914; seconda edizione rivista Mengenlehre, Gruyter, Berlin, 1927; trad. ingl. della terza edizione del 1937, Set Theory, Chelsea, New York, 1957. | MR

[Hessenberg 1906] G. Hessenberg, “Grundbegriffe der Mengenlehre”, Abhandlungen der Fries'schen Schule, nuova serie, 1 (1906), pp. 479-706.

[Hessenberg 1909] G. Hessenberg, “Kettentheorie und Wohlordnung”, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle), 135 (1909), pp. 81-133. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[Hilbert 1900] D. Hilbert, “Über den Zahlbegriff”, Jahresbericht der DMV, 8 (1900), pp. 180-184; trad. it. in [Hilbert 1978, pp. 139-43]. | fulltext EuDML | Zbl

[Hilbert 1978] D. Hilbert, Ricerche sui fondamenti della matematica (a cura di M. V. Abrusci), Bibliopolis, Napoli, 1978. | MR

[Kanamori 2004] A. Kanamori, “Zermelo and set theory”, Bulletin of Symbolic Logic, 10 (2004), n. 4, pp. 489-553. | DOI | MR | Zbl

[Kanamori 2012] A. Kanamori, “In Praise of Replacement”, Bulletin of Symbolic Logic, 18 (2012), n. 1, pp. 46-90. | MR | Zbl

[König 1905] J. König, “Über die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem”, Mathematische Annalen, 61 (1905), pp. 156-60; trad. ingl. in [van Heijenoort 1967, pp. 145-9]. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[Le Lionnais 1948] F. LE LIONNAIS (a cura di), Les grands courants de la pensée mathématique, Cahiers du Sud, 1948. | MR | Zbl

[Le Lionnais 1962] F. LE LIONNAIS (a cura di), Les grands courants de la pensée mathématique, A. Blanchard, Paris,1962, second augmented edition of [Le Lionnais 1948]. | MR | Zbl

[Lolli 1985] G. Lolli, Le ragioni fisiche e le dimostrazioni matematiche, il Mulino, Bologna, 1985.

[Lolli 2011] G. Lolli, La guerra dei trent'anni (1900-1930), ETS, Pisa, 2011.

[Lolli 2013] G. Lolli, Nascita di un'idea matematica, Edizioni della Normale, Pisa, 2013. | Zbl

[Mahlo 1911] P. Mahlo, “Über lineare transfinite Mengen”, Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Math.-Phys. Klasse, Sitzungsberichte, 63 (1911), pp. 187-225. | MR | Zbl

[Mathias 1992] A. R. D. Mathias, “The Ignorance of Bourbaki”, Mathematical Intelligencer, 14 (1992), pp. 4-13. | DOI | MR | Zbl

[Mirimanoff 1917a] D. Mirimanoff, “Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probléme fondamental de la théorie des ensembles”, L'Enseignement mathématique,vol. 19, 1917, pp. 37-53. | Zbl

[Mirimanoff 1917b] D. Mirimanoff, “Remarques sur la théorie des ensembles et les antinomies cantoriennes”, L'Enseignement mathematiques, vol. 19, 1917, pp. 209-217. | Zbl

[Moore 1976] G. H. Moore, “Ernst Zermelo, A. E. Harward, and the axiomatization of set theory”, Historia Mathematica 3 (2) (1976), pp. 206-209. | DOI | MR | Zbl

[Moore 1982] G. H. Moore, Zermelo's Axiom of Choice. Its Origin, Development, and Influence, Springer, New York, 1982. | DOI | MR | Zbl

[Moore 2011] G. H. Moore, “Early History of the Generalized Continuum Hypothesis: 1878-1938”, The Bulletin of Symbolic Logic 17 (2011), n. 4, pp. 489-532. | DOI | MR | Zbl

[Pieri 1898] M. Pieri, “I principi della geometria di posizione composti in un sistema logico deduttivo”, Memorie della R.Accademia delle Scienze di Torino, (2), 48, 1897-98, pp. 1-62. | Zbl

[Pieri 1906] M. Pieri, “Sur la compatibilité des axiomes del'arithmetique”, Revue de Métaphysique et de Morale, 13 (1906), pp. 196-207, ristampato in [Pieri 1980, pp. 377-88].

[Pieri 1980] M. Pieri, Opere scelte, Cremonese, Roma, 1980.

[Riemann 1868] B. Riemann, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Habilitationsvortrag, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaftenzu Göttingen, 13 (1868) (a cura di Dedekind); ristampata in [Riemann 1953, pp. 272-87]; trad. ingl. in [Ewald 1996, vol.2, pp. 652-61]. | MR

[Riemann 1953] B. Riemann, Gesammelte mathematische Werke (a cura di H. Weber), Dover, New York, 2a ed., 1953. | DOI | MR

[Rosser 1950] J. Barkley Rosser, recensione di [Bourbaki1949], Journal of Symbolic Logic, 14 (1950), pp. 258-259.

[Russell 1903] B. Russell, The principles of mathematics, Allen and Unwin, London, 1903; trad it. [Russell 1951]. | Zbl

[Russell 1906] B. Russell, “On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types”, Proc. of the London Math. Soc. (2) 4, 1906, pp. 29-53, rist. in [Russell 1973, pp. 135-64]. | DOI | MR

[Russell 1951] B. Russell, I principi della matematica, Longanesi, Milano, 1951.

[Russell 1973] B. Russell, Essays in Analysis (a cura di D. Lackey), George Allen&Unwin, London, 1973.

[Salkowski 1910] E. Salkowski, recensione di [WEYL 1910], in Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, 41 (1910), pp. 89-90.

[Schoenflies 1900] A. Schoenflies, “Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 8 (1900), pp. 1-251. | fulltext EuDML | Zbl

[Schoenflies 1908] A. Schoenflies, “Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. Zweiten Teil”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 2 (1908), pp. 1-331. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[Schoenflies 1911] A. Schoenflies, “Über die Stellung der Definition in der Axiomatik”, Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 20 (1911), pp. 222-255. | fulltext EuDML | Zbl

[Skolem 1920] T. Skolem, “Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen”, Videnkapsselkapets skrifter, I. Matematisk-naturvidenskabelig klasse, 4 (1920), 36 pp.; trad. inglese del primo paragrafo in [van Heijenoort 1967, pp. 254-63].

[Skolem 1922] T. Skolem, “Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre”, Mathematikerkongressen i Helsingfors den 4-7 Juli 1923, Den femte skandinaviska matematikerkongressen, Redogörelse, Akademiska Bokhandeln, Helsinki, 1923, pp. 217-232; trad. ingl. in [van Heijenoort 1967, pp. 290-301].

[Skolem 1923] T. Skolem, “Begründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veränderlichen mit unendlichem Ausdehnungsbereich”, Videnkapsselkapets skrifter, I. Matematisk-naturvidenskabelig klasse, 6 (1923); trad. inglese in [van Heijenoort 1967, pp. 302-333].

[van der Waerden 1930-31] B. L. Van Der Waerden, Moderne Algebra, 2 voll., Springer, Berlin, 1930-31, 1937. | MR

[van Heijenoort 1967] J. VAN HEIJENOORT (a cura di), From Frege to Gödel, Harvard Univ. Press, Cambridge MA, 1967. | Zbl

[von Neumann 1923] J. Von Neumann, “Zür Einführung der transfiniten Zahlen”, Acta Litterarum ac Scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephine (szeged), sectio scientiaturm mathematicarum, vol. I, 1923, pp. 346-354. | Zbl

[von Neumann 1925] J. Von Neumann, “Eine Axiomatisierungte der Mengenlehre”, Journal für die reine und angewand Mathematik (Crelle), 154 (1925), pp. 219-240; trad. ingl. in [van Heijenoort 1967, pp. 393-413]. | fulltext EuDML | DOI | MR

[von Neumann 1928] J. Von Neumann, “Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengelehre”, Mathematische Annalen, 99 (1928), pp. 373-391. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[Weyl 1910] H. Weyl, “Über die definitionen der mathematschen Grundbegriffe”, Math. naturwiss. Blätter, 7 (1910), pp, 93-95 e 109-113, ristampato in [Weyl 1968, vol. 1,pp. 298-304].

[Weyl 1918] H. Weyl, Das Kontinuum. Kritische Untersuchgungen über die Grundlagen der Analysis, Veit, Leipzig, 1918; trad. it. Il continuo (a cura di Anna Barbara Veit), Bibliopolis, Napoli, 1977.

[Weyl 1932] H. Weyl, “Topologie und abstrakte Algebra als zwei Wege mathematischen Verständnisses”, Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, 38 (1932), pp. 177-188. | Zbl

[Weyl 1935] H. Weyl, “Emmy Noether”, Scripta Mathematica3 (3) 1935, pp. 201-220. | DOI | MR | Zbl

[Weyl 1968] H. Weyl, Gesammelte Abhandlungen (a cura di K. Chandrasekharan), 4 voll., Springer, Berlin, 1968. | MR

[Zermelo 1904] E. Zermelo, “Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe)”, Mathematische Annalen, 59 (1904), pp.514-516; trad. ingl. in [van Heijenoort 1967, pp. 139-41]. | fulltext EuDML | DOI | MR

[Zermelo 1908a] E. Zermelo, “Neuer Beweis für die Möglichkeiteiner Wohlordnung”, Mathematische Annalen, 65 (1908), pp.107-128; trad. ingl. in [van Heijenoort 1967, pp. 183-98]. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[Zermelo 1908b] E. Zermelo, “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I”, Mathematische Annalen, 65 (1908), pp. 261-281; trad. ingl. in [van Heijenoort 1967, pp.199-215]. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[Zermelo 1913] E. Zermelo, “Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels” (1913), trad.ingl. “On an Application of Set Theory to the Theory of the Game of Chess” in Rasmusen E. (a cura di), Readings in Games and Information, Wiley-Blackwell, 2010, pp. 79-82. | MR

[Zermelo 1929] E. Zermelo, “Über den Begriff der Definitheit in der Axiomatik”, Fundamenta Mathematicae, 14 (1929),pp. 339-344. | fulltext EuDML | Zbl

[Zermelo 1930] E. Zermelo, “Über Grenzzahlen und Mengenbereiche”, Fundamenta mathematicae, 21 (1930), pp. 29-47; trad. it. “Numeri confine e domini di insiemi”, in [Cellucci1978, pp. 178-95]. | fulltext EuDML