Diffusione e reazione: dal motoBrowniano alla diffusione delle epidemie

Serva, Maurizio ; Vergni, Davide ; Vulpiani, Angelo

Matematica, cultura e società, Série 1, Tome 3 (2018) no. 2, pp. 93-102.

Riassunto (VO)

I fenomeni di trasporto, e la loro generalizzazione ai casi con reazione, costituiscono un capitolo molto importante della matematica applicata e trovano utilizzo in ambiti molto vari, che vanno dalla diffusione di sostanze inquinanti in atmosfera e in mare, ai processi industriali, alla biomatematica, alla propagazione di epidemie. Oltre alla loro rilevanza pratica, lo studio di tali fenomeni ha portato contributi molto importanti nella storia della fisica e della matematica. Possiamo ricordare lo studio di Einstein sul moto browniano che è stato fondamentale per dare un'evidenza sperimentale definitiva della reale esistenza degli atomi. E, in generale, i processi di diffusione hanno costituito il punto di partenza per la costruzione della teoria matematica dei processi stocastici (a cominciare dal lavoro di Langevin). Analogamente lo studio dei fenomeni con diffusione e reazione, nati dal contributo di due giganti della scienza del 20-mo secolo (Ronald A. Fisher e Andrej N. Kolmogorov) nell'ambito della modellizzazione matematica di problemi biologici, ha poi portato a sviluppi interessanti sia nell'ambito applicativo che per le proficue connessioni tra processi stocastici ed equazioni alle derivate parziali. In questo articolo oltre a presentare alcuni tra i risultati generali sviluppati in questi ambiti, discuteremo anche aspetti più moderni legati al crescente interesse per i fenomeni di trasporto e reazione/diffusione su strutture discrete (grafi), una tematica questa di grande attualità (basti pensare alla diffusione delle informazioni su internet o alla propagazione delle epidemie per mezzo del network dei trasporti aerei) sviluppata attraverso una matematica raffinata.

Abstract

Diffusion and transport processes constitute a very important field of applied mathematics. They are useful in many different problems ranging from the diffusion of pollutants in the atmosphere and the sea, to the spreading of epidemics. Aside from their practical relevance, such processes have been very important in the history of physics and mathematics. We can recall Einstein's study of Brownian motion which was fundamental to give definitive experimental evidence of the existence of atoms. Moreover diffusion processes have been the starting point for the building of the mathematical theory of stochastic processes (starting from the work of Langevin). Similarly the study of reaction and diffusion phenomena, starting from the seminal contribution of two 20th-century science giants (Ronald A. Fisher and Andrej N. Kolmogorov) has led to interesting developments both for applications and for the fruitful connections between stochastic processes and partial differential equation. In this article we discuss some general results developed in these areas, including few modern topics, as transport and reaction/diffusion on discrete structures (graphs). Such a theme has a great relevance, e.g. for the dissemination of information through the internet or the spreading of epidemics through the air transport network.

Bibliographie

J. P. Bouchaud and A. Georges, Anomalous diffusion in disordered media. Phys. Rep., 195, 127 (1990). | DOI | MR

A. Crisanti, M. Falcioni, G. Paladin and A. Vulpiani, Lagrangian chaos: transport, mixing and diffusion in fluids, Riv. Nuovo Cimento 14, 1 (1991). | DOI | MR | Zbl

J. Klafter and I. M. Sokolov, First steps in random walks: from tools to applications, (Oxford University Press, New York, 2011). | DOI | MR | Zbl

A. J. Majda and P. R. Kramer, Simplified models for turbulent diffusion: Theory, numerical modelling, and physical phenomena. Phys. Rep., 314, 237 (1999). | DOI | MR

J. B. WEISS and A. PROVENZALE (Curatori), Transport and mixing in geophysical flows, (Springer-Verlag, 2007).

M. Abel, A. Celani, D. Vergni and A. Vulpiani, Front propagation in laminar flows, Phys. Rev. E, 64, 046307 (20011).

R. A. Fisher, The wave of advance of advantageous genes. Ann. Hum. Genet., 7, 355 (1937). | Zbl

A. N. Kolmogorov, I. G. Petrovskii, N. S. Piskunov, A study of the diffusion equation with increase in the quantity of matter, and its application to a biological problem, Bull. Moscow Univ. Math., A 1, 1 (1937).

R. Mancinelli, D. Vergni and A. Vulpiani, Front propagation in reactive systems with anomalous diffusion. Physica D, 85, 175 (2003). | DOI | MR | Zbl

V. Mendez, S. Fedotov and W. Horsthemke, Reaction-Transport Systems: Mesoscopic Foundation, Fronts, and Spatial Instabilities (Springer-Verlag, 2010). | DOI | MR

Z. Neufeld and E. Hernández-García, Chemical and Biological Processes in Fluid Flows: A Dynamical Systems Approach (World Scientific, 2009).

M. Serva, D. Vergni and A. Vulpiani, Linear and anomalous front propagation in systems with non-Gaussian diffusion: The importance of tails, Physical Review E 94, 012141 (2016).

F. Bianco, S. Chibbaro, D. Vergni and A. Vulpiani, Reaction spreading on percolating clusters, Phys. Rev. E, 87, 062811 (2013).

P. Blanchard and D. Volchenkov, Random Walks and Diffusions on Graphs and Databases (Springer-Verlag, 2011). | DOI | MR | Zbl

B. Bollobás, Modern Graph Theory (Springer-Verlag, 1998). | DOI | MR

R. Burioni and D. Cassi, Random walks on graphs: ideas, techniques and results, J Phys A 38, R45 (2005). | DOI | MR | Zbl

R. Burioni, S. Chibbaro, D. Vergni and A. Vulpiani, Reaction spreading on graphs. Phys. Rev. E, 86, 055101 (2012).