Metrics in the set of partial isometries with finite rank

Andruchow, Esteban ; Corach, Gustavo

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 16 (2005) no. 1, pp. 31-44.

Abstract (VO)

Let $\mathcal{I}_{(\infty)}$ be the set of partial isometries with finite rank of an infinite dimensional Hilbert space $\mathcal{H}$. We show that $\mathcal{I}_{(\infty)}$ is a smooth submanifold of the Hilbert space $\mathcal{B}_{2}(\mathcal{H})$ of Hilbert-Schmidt operators of $\mathcal{H}$ and that each connected component is the set $\mathcal{I}_{N}$, which consists of all partial isometries of rank $N \infty$. Furthermore, $\mathcal{I}_{(\infty)}$ is a homogeneous space of $\mathcal{U}_{(\infty)} \times \mathcal{U}_{(\infty)}$, where $\mathcal{U}_{(\infty)}$ is the classical Banach-Lie group of unitary operators of $\mathcal{H}$, which are Hilbert-Schmidt perturbations of the identity. We introduce two Riemannian metrics in $\mathcal{I}_{(\infty)}$: one, via the ambient inner product of $\mathcal{B}_{2}(\mathcal{H})$, the other, by means of the group action. We show that both metrics are equivalent and complete.

Riassunto

Sia $\mathcal{I}_{(\infty)}$ l'insieme delle isometrie con rango finito di uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ ad infinite dimensioni. Si prova che $\mathcal{I}_{(\infty)}$ è una sottovarietà regolare dello spazio di Hilbert $\mathcal{B}_{2}(\mathcal{H})$ degli operatori di Hilbert-Schmidt di $\mathcal{H}$, e che ciascuna componente connessa è l'insieme $\mathcal{I}_{N}$, che consiste di tutte le isometrie parziali di rango $N \infty$. Inoltre, $\mathcal{I}_{(\infty)}$ è uno spazio omogeneo di $\mathcal{U}_{(\infty)} \times \mathcal{U}_{(\infty)}$, dove $\mathcal{U}_{(\infty)}$ è il classico gruppo di Banach-Lie degli operatori unitari di $\mathcal{H}$, che sono perturbazioni di Hilbert-Schmidt dell'identità. Si introducono due metriche Rimanniane in $\mathcal{I}_{(\infty)}$: una per mezzo del prodotto interno di $\mathcal{B}_{2}(\mathcal{H})$, l'altra utilizzando il gruppo d'azione. Si prova che le due metriche sono equivalenti e complete.

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