Geodesic
On the number of solutions of equation \( x^{{p}^{ k}} = 1 \) in a finite group
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 6 (1995) no. 1, pp. 5-12.

Voir la notice de l'article provenant de la source Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Theorem A yields the condition under which the number of solutions of equation \( x^{{p}^{ k}} = 1 \) in a finite \( p \)-group is divisible by \( p^{n + k} \) (here \( n \) is a fixed positive integer). Theorem B which is due to Avinoam Mann generalizes the counting part of the Sylow Theorem. We show in Theorems C and D that congruences for the number of cyclic subgroups of order \( p^{k} \) which are true for abelian groups hold for more general finite groups (for example for groups with abelian Sylow \( p \)-subgroups).
Il Teorema A fornisce condizioni per cui il numero delle soluzioni dell'equazione \( x^{{p}^{ k}} = 1 \) in un gruppo finito è divisibile per \( p^{n + k} \) dove \( n \) è un fissato intero positivo. Il Teorema B, che è dovuto a Avinoam Mann, è una generalizzazione del teorema di Sylow. Si prova nei teoremi C e D che le congruenze relative al numero dei sottogruppi ciclici di ordine \( p^{k} \) note per i gruppi abeliani valgono in effetti per classi più ampie di gruppi finiti, ad esempio per gruppi a sottogruppi di Sylow abeliani. 
@article{RLIN_1995_9_6_1_a0,
     author = {Berkovich, Yakov},
     title = {On the number of solutions of equation \( x^{{p}^{ k}} = 1 \) in a finite group},
     journal = {Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni},
     pages = {5--12},
     publisher = {mathdoc},
     volume = {Ser. 9, 6},
     number = {1},
     year = {1995},
     zbl = {0840.20017},
     mrnumber = {241534},
     language = {en},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1995_9_6_1_a0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Berkovich, Yakov
TI  - On the number of solutions of equation \( x^{{p}^{ k}} = 1 \) in a finite group
JO  - Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni
PY  - 1995
SP  - 5
EP  - 12
VL  - 6
IS  - 1
PB  - mathdoc
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1995_9_6_1_a0/
LA  - en
ID  - RLIN_1995_9_6_1_a0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Berkovich, Yakov
%T On the number of solutions of equation \( x^{{p}^{ k}} = 1 \) in a finite group
%J Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni
%D 1995
%P 5-12
%V 6
%N 1
%I mathdoc
%U http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1995_9_6_1_a0/
%G en
%F RLIN_1995_9_6_1_a0
Berkovich, Yakov. On the number of solutions of equation \( x^{{p}^{ k}} = 1 \) in a finite group. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 6 (1995) no. 1, pp. 5-12. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1995_9_6_1_a0/

[1] Ya. G. Berkovich, On \( p \)-groups of finite order. Sibirsk. Math. J., 9, 6, 1968, 1284-1306 (in Russian). | MR

[2] Ya. G. Berkovich, On the number of elements of given order in a finite \( p \)-group. Israel J. Math., 73, 1991, 107-112. | DOI | MR | Zbl

[3] Ya. G. Berkovich, Counting theorems for finite \( p \)-groups. Arch. Math., 59, 1992, 215-222. | DOI | MR | Zbl

[4] N. Blackburn, Generalizations of certain elementary theorems on \( p \)-groups. Proc. London Math. Soc., 11, 1961, 1-22. | MR | Zbl

[5] P. Deligne, Congruences sur le nombre de sous-groupes d'ordre \( p^{k} \) dans un groupe fini. Bull. Soc. Math. Belg., 18, 1966, 129-132. | MR | Zbl

[6] M. Herzog, Counting group elements of order \( p \) modulo \( p^{2} \). Proc. Amer. Math. Soc., 66, 1977, 247-250. | MR | Zbl