Geodesic
The Hughes subgroup
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 5 (1994) no. 4, pp. 283-288.

Voir la notice de l'article provenant de la source Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Let \( G \) be a group and \( p \) a prime. The subgroup generated by the elements of order different from \( p \) is called the Hughes subgroup for exponent \( p \). Hughes [3] made the following conjecture: if \( H_{p}(G) \) is non-trivial, its index in \( G \) is at most \( p \). There are many articles that treat this problem. In the present Note we examine those of Strauss and Szekeres [9], which treats the case \( p = 3 \) and \( G \) arbitrary, and that of Hogan and Kappe [2] concerning the case when \( G \) is metabelian, and \( p \) arbitrary. A common proof is given for the two cases and a possible lacuna in the first is filled.
Sia \( G \) un gruppo e \( p \) un numero primo; si dice sottogruppo di Hughes relativo a \( p \) il sottogruppo \( H_{p}(G) \) generato dagli elementi di \( G \) di ordine diverso da \( p \). Hughes[3] fece la seguente congettura: se \( H_{p}(G) \) non è banale, il suo indice in \( G \) è \( \le p \). Vi sono molti lavori relativi a questo problema. Nella presente Nota vengono presi in esame quello di Strauss e Szekeres [9] relativo al caso \( p = 3 \), \( G \) qualunque, e quello di Hogan e Kappe [2] concernente il caso \( G \) metabeliano, \( p \) qualunque. Si dà un procedimento unico per i due casi e si colma una possibile lacuna del primo lavoro. 
@article{RLIN_1994_9_5_4_a0,
     author = {Bryce, Robert},
     title = {The {Hughes} subgroup},
     journal = {Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni},
     pages = {283--288},
     publisher = {mathdoc},
     volume = {Ser. 9, 5},
     number = {4},
     year = {1994},
     zbl = {0832.20034},
     mrnumber = {105441},
     language = {en},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1994_9_5_4_a0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bryce, Robert
TI  - The Hughes subgroup
JO  - Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni
PY  - 1994
SP  - 283
EP  - 288
VL  - 5
IS  - 4
PB  - mathdoc
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1994_9_5_4_a0/
LA  - en
ID  - RLIN_1994_9_5_4_a0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bryce, Robert
%T The Hughes subgroup
%J Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni
%D 1994
%P 283-288
%V 5
%N 4
%I mathdoc
%U http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1994_9_5_4_a0/
%G en
%F RLIN_1994_9_5_4_a0
Bryce, Robert. The Hughes subgroup. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 5 (1994) no. 4, pp. 283-288. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1994_9_5_4_a0/

[1] P. Hall, Some sufficient conditions for a group to be nilpotent. Illinois J. Math., 2, 1958, 787-801. | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[2] G. T. Hogan - W. P. Kappe, On the \( H_{p} \)-problem for finite \( p \)-groups. Proc. Amer. Math. Soc., 20, 1969, 450-454. | MR | Zbl

[3] D. R. Hughes, Research Problem No. 3. Bull. Amer. Math. Soc., 63, 1957, 209. | fulltext mini-dml

[4] D. R. Hughes - J. G. Thompson, The \( H_{p} \)-problem and the structure of \( H_{p} \)-groups. Pac. J. Math., 9, 1959, 1097-1101. | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[5] E. J. Khukhro, On a connection between Hughes' conjecture and relations in finite groups of prime exponent. Math. USSR Sbornik, 44, 1983, 227-237. | Zbl

[6] E. J. Khukhro, On Hughes problem for finite \( p \)-groups. Algebra and Logic, 26, 1987, 136-145. | MR | Zbl

[7] F. W. Levi, Groups in which the commutator relation satisfies certain algebraic conditions. J. Indian Math. Soc., New Ser., 6, 1942, 87-97. | MR | Zbl

[8] I. D. Macdonald, Solution of the Hughes problem for finite \( p \)-groups of class \( 2p-2 \). Proc. Amer. Math. Soc., 27, 1971, 39-42. | MR | Zbl

[9] E. Strauss - G. Szekeres, On a problem of D. R. Hughes. Proc. Amer. Math. Soc., 9, 1958, 157-158. | MR | Zbl

[10] G. E. Wall, On Hughes' \( H_{p} \) problem. Proceedings of the International Conference on Theory of Groups. Austral. Nat. Univ. Canberra, August 1965, 357-362. Gordon and Breach Science Publishers, Inc. 1967. | MR | Zbl

[11] G. Zappa, Contributo allo studio del problema di Hughes sui gruppi. Ann. Mat. Pura Appl., (4), 57, 1962, 211-219. | MR | Zbl