Geodesic
Convex approximation of an inhomogeneous anisotropic functional
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 5 (1994) no. 2, pp. 177-187.

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The numerical minimization of the functional \( \mathcal{F} (u) = \int_{\Omega} \phi (x,\nu_{u}) |Du| + \int_{\partial \Omega} \mu u \, d\mathcal{H}^{n-1} - \int_{\Omega} \kappa u \, dx \), \( u \in BV(\Omega; \{-1, 1\}) \) is addressed. The function \( \phi \) is continuous, has linear growth, and is convex and positively homogeneous of degree one in the second variable. We prove that \( \mathcal{F} \) can be equivalently minimized on the convex set \( BV(\Omega; \left[-1, 1\right]) \) and then regularized with a sequence \( \{\mathcal{F}_{\epsilon}(u)\}_{\epsilon} \), of stricdy convex functionals defined on \( BV(\Omega; \left[-1, 1\right]) \). Then both \( \mathcal{F} \) and \( \mathcal{F}_{\epsilon} \), can be discretized by continuous linear finite elements. The convexity property of the functionals on \( BV(\Omega; \left[-1, 1\right]) \) is useful in the numerical minimization of \( \mathcal{F} \). The \( \Gamma — L_{1} (\Omega) \)-convergence of the discrete functionals \( \{ \mathcal{F}_{h} \}_{h} \) and \( \{ \mathcal{F}_{\epsilon,h} \}_{\epsilon,h} \) to \( \mathcal{F} \), as well as the compactness of any sequence of discrete absolute minimizers, are proven.
Si studia la minimizzazione numerica del funzionale \( \mathcal{F} (u) = \int_{\Omega} \phi (x,\nu_{u}) |Du| + \int_{\partial \Omega} \mu u \, d\mathcal{H}^{n-1} - \int_{\Omega} \kappa u \, dx \). La funzione \( \phi \) è continua, ha crescita lineare ed è convessa e positivamente omogenea di grado uno nella seconda variabile. Si dimostra che \( \mathcal{F} \) può essere equivalentemente minimizzato sull'insieme convesso \( BV(\Omega; \left[-1, 1\right]) \) e successivamente regolarizzato con una successione \( \{\mathcal{F}_{\epsilon}(u)\}_{\epsilon} \) di funzionali strettamente convessi definiti su \( BV(\Omega; \left[-1, 1\right]) \). \( \mathcal{F} \) e \( \mathcal{F}_{\epsilon} \) sono poi discretizzati con elementi finiti lineari continui. La convessità dei funzionali su \( BV(\Omega; \left[-1, 1\right]) \) è utile nella minimizzazione numerica di \( \mathcal{F} \). Si dimostra infine \( \Gamma — L_{1} (\Omega) \)-convergenza dei funzionali \( \{ \mathcal{F}_{h} \}_{h} \) e \( \{ \mathcal{F}_{\epsilon,h} \}_{\epsilon,h} \) a \( \mathcal{F} \) e la compattezza di successioni di punti di minimo discreti assoluti. 
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Bellettini, Giovanni; Paolini, Maurizio. Convex approximation of an inhomogeneous anisotropic functional. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 5 (1994) no. 2, pp. 177-187. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1994_9_5_2_a7/

[1] F. Almgren - J. E. Taylor - L. Wang, Curvature-driven flows: a variational approach. SIAM J. Control Optim., 31, 1993, 387-437. | DOI | MR | Zbl

[2] G. Bellettini - M. Paolini - C. Verdi, Convex approximations of functional with curvature. Rend. Mat. Acc. Lincei, s. 9, 2, 1991, 297-306. | fulltext bdim | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[3] G. Buttazzo, Semicontinuity, Relaxation and Integral Representation in the Calculus of Variations. Longman Scientific & Technical, Harlow 1989. | MR | Zbl

[4] G. Caginalp, The dynamics of a conserved phase field system: Stefan-like, Hele-Shaw, and Cahn-Hilliard models as asymptotic limits. IMA J. Appl. Math., 44, 1990, 77-94. | DOI | MR | Zbl

[5] J. W. Cahn - C. A. Handwerker - J. E. Taylor, Geometric models of crystal growth. Acta Metall., 40, 1992, 1443-1474.

[6] P. G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems. North-Holland, Amsterdam 1978. | MR | Zbl

[7] G. Dal Maso, Integral representation on \( BV(\Omega) \) of \( \Gamma \)-limits of variational integrals. Manuscripta Math., 30, 1980, 387-416. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[8] E. De Giorgi, Free discontinuity problems in calculus of variations. In: R. DAUTRAY (éd.), Frontières in Pure and Applied Mathematics. North-Holland, Amsterdam 1991, 55-62. | MR | Zbl

[9] E. De Giorgi - T. Franzoni, Su un tipo di convergenza variazionale. Atti Acc. Lincei Rend. fis., s. 8, 58, 1975, 842-850. | MR | Zbl

[10] H. Federer, Geometrie Measure Theory. Springer-Verlag, Berlin 1968. | Zbl

[11] E. Gagliardo, Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in \( n \) variabili. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 27, 1957, 284-305. | fulltext EuDML | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[12] E. Giusti, Minimal Surfaces and Functions of Bounded. Birkhäuser, Boston 1984. | MR

[13] S. Luckhaus - L. Modica, The Gibbs-Thomson Variation relation within the gradient theory of phase transitions. Arch. Rational Mech. Anal., 107, 1, 1989, 71-83. | DOI | MR | Zbl

[14] M. Miranda, Superfici cartesiane generalizzate ed insiemi di perimetro localmente finito sui prodotti cartesiani. Ann. Scuola Norm. Pisa Cl. Sci. (4), 3, 1964, 515-542. | fulltext EuDML | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[15] Yu. G. Reshetnyak, Weak convergence of completely additive functions on a set. Siberian Math. J., 9, 1968, 1039-1045. | Zbl

[16] A. I. Vol'Pert, The space \( BV \) and quasilinear equations. Math. USSR Sbornik, 2, 1967, 225-267. | Zbl