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Infinite locally soluble \( k \)-Engel groups
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 3 (1992) no. 3, pp. 177-183.

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In this paper we deal with the class \( \mathcal{E}_{k}^{*} \) of groups \( G \) for which whenever we choose two infinite subsets \( X \), \( Y \) there exist two elements \( x \in X \), \( y \in Y \) such that \( [x, \underbrace{y,\ldots,y}_{k}] = 1 \). We prove that an infinite finitely generated soluble group in the class \( \mathcal{E}_{k}^{*} \) is in the class \( \mathcal{E}_{k} \) of \( k \)-Engel groups. Furthermore, with \( k = 2 \), we show that if \( G \in \mathcal{E}_{2}^{*} \) is infinite locally soluble or hyperabelian group then \( G \in \mathcal{E}_{2} \).
Si definisce la classe \( \mathcal{E}_{k}^{*} \) dei gruppi \( G \) per i quali comunque si prendano due sottoinsiemi \( X \), \( Y \), esistono due elementi \( x \in X \), \( y \in Y \) tali che \( [x, \underbrace{y,\ldots,y}_{k}] = 1 \). Si prova che un gruppo infinito risolubile finitamente generabile nella classe \( \mathcal{E}_{k}^{*} \) è nella classe \( \mathcal{E}_{k} \) dei gruppi \( k \)-Engel. Inoltre, per \( k = 2 \) si è provato che se \( G \in \mathcal{E}_{2}^{*} \) è infinito e localmente risolubile od iperabeliano allora \( G \in \mathcal{E}_{2} \). 
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[1] K. W. Gruenberg, The upper central series in soluble groups. Illinois J. of Math., 5, 1961, 436-466. | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[2] P. Longobardi - M. Maj - A. H. Rhemtulla, Infinite groups in a given variety and Ramsey's theorem. Communications in Algebra, to appear. | Zbl

[3] P. S. Kim - A. H. Rhemtulla - H. Smith, A characterization of infinite metabelian groups. Houston J. of Math., to appear. | Zbl

[4] D. J. S. Robinson, Finiteness Conditions and Generalized Soluble Groups. Part I and Part II. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1972. | Zbl

[5] D. I. Zaicev, On solvable subgroups of locally solvable groups. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 214, 1974, 1250-1253 (translation in Soviet Math. Dokl., 15, 1974, 342-345). | MR | Zbl