On Lagrangian systems with some coordinates as controls

Rampazzo, Franco

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 82 (1988) no. 4, pp. 685-695.

Abstract (VO)

Let $\Sigma$ be a constrained mechanical system locally referred to state coordinates $(q^{1},...,q^{N}, \gamma^{1},...,\gamma^{M})$. Let $(\tilde{\gamma}^{1}...\tilde{\gamma}^{M})(\cdot)$ be an assigned trajectory for the coordinates $\gamma^{\alpha}$ and let $u(\cdot)$ be a scalar function of the time, to be thought as a control. In [4] one considers the control system $\Sigma_{\hat{\gamma}}$, which is parametrized by the coordinates $(q^{1},...,q^{N})$ and is obtained from $\Sigma$ by adding the time-dependent, holonomic constraints $\gamma^{\alpha} = \hat{\gamma}^{\alpha}(t) := \tilde{\gamma}^{\alpha} (u(t))$. More generally, one can consider a vector-valued control $u(\cdot) = (u^{1},..., u^{M})(\cdot)$ which is directly identified with $\hat{\gamma}(\cdot) = (\hat{\gamma}^{1},..., \hat{\gamma}^{M})(\cdot)$. If one denotes the momenta conjugate to the coordinates $q^{i}$ by $p_{i}$, $i= 1,...,N$, it is physically interesting to examine the continuity properties of the input-output map $\phi : u(\cdot) \rightarrow (q^{i} ,p_{i})(\cdot)$ associated with the dynamical equations of $\Sigma_{\hat{\gamma}}$ with respect to e.g. the $C^{0}$ topologies on the spaces of the controls $u(\cdot)$ and of the solutions $(q^{i},p_{i})(\cdot)$. Furthermore, in the theory of hyperimpulsive motions (see [4]), even discontinuous control are implemented. Then it is crucial to investigate the continuity of $\phi$ also with respect to topologies that are weaker than the $C^{0}$ one. In order that the input-output map $\phi$ exhibits such continuity properties, the right-hand sides of the dynamical equation for $\Sigma_{\hat{\gamma}}$ have to be affine in the derivatives $\frac{d \hat{\gamma}^{1}} {dt},...,\frac{d\hat{\gamma}^{M}} {dt}$. If this is the case, the system of coordinates $(q^{i} ,\gamma^{\alpha})$ is said to be $M$-fit (for linearity). In this note we show that, in the case of forces which depend linearly on the velocity of $\Sigma$, the coordinate system $q^{i} ,\gamma^{\alpha})$ is $M$-fit if and only if certain coefficients in the expression of the kinetic energy are independent of the $q^{i}$. Moreover, if the forces are positional, for each $1$-fit coordinate system $(q^{\prime i} ,y^{\prime})$ there exists a reparametrization $(q^{j} ,\gamma)$ such that $\frac{\partial\gamma}{\partial q^{\prime i}} = 0$ holds for every $i = 1,...,N$ and the coordinates $(q^{i} ,\gamma)$ are locally geodesic.

Riassunto

Sia $\Sigma$ un sistema meccanico vincolato, riferito a coordinate $(q^{1},...,q^{N}, \gamma^{1},...,\gamma^{M})$. Siano $(\tilde{\gamma}^{1}...\tilde{\gamma}^{M})(\cdot)$ delle preassegnate traiettorie per le coordinate $\gamma^{\alpha}$ e sia $u(\cdot)$ una funzione scalare del tempo, da assumersi come controllo. In [4] si considera il sottosistema $\Sigma_{\hat{\gamma}}$, parametrizzato dalle coordinate $(q^{1},...,q^{N})$ e ottenuto da $\Sigma$ mediante l'aggiunta di alcuni vincoli lisci espressi cinematicamente da $\gamma^{\alpha} = \hat{\gamma}^{\alpha}(t) := \tilde{\gamma}^{\alpha} (u(t))$. Più in generale si può pensare ad un controllo vettoriale $u(\cdot) = (u^{1},..., u^{M})(\cdot)$ direttamente identificato con $\hat{\gamma}(\cdot) = (\hat{\gamma}^{1},..., \hat{\gamma}^{M})(\cdot)$. Denotati con $p_{i}$, $i= 1,...,N$, i momenti coniugati alle coordinate $q^{i}$ è fisicamente importante stabilire quando il funzionale ingresso-uscita $\phi : u(\cdot) \rightarrow (q^{i} ,p_{i})(\cdot)$ associato alle equazioni dinamiche di $\Sigma_{\hat{\gamma}}$, sia continuo, per esempio rispetto alla topologia della convergenza uniforme sullo spazio dei controlli $u(\cdot)$ e delle soluzioni $(q^{i},p_{i})(\cdot)$. Inoltre, nella teoria del moto iperimpulsivo (v. [4]), si considerano controlli $u(\cdot)$discontinui. Risulta perciò cruciale l'analisi della continuità del funzionale $\phi$ rispetto a topologie più deboli di quella della convergenza uniforme. Sulla base di alcuni recenti lavori su sistemi differenziali con controllo impulsivo risulta che, in ipotesi di equilimitatezza per la variazione totale dei controlli, la mappa $\phi$ presenta i suddetti caratteri di continuità se e solo se i secondi membri delle equazioni dinamiche per $\Sigma_{\hat{\gamma}}$ sono affini nelle derivate $\frac{d \hat{\gamma}^{1}} {dt},...,\frac{d\hat{\gamma}^{M}} {dt}$. Ciò avviene solo per una appropriata scelta del sistema di coordinate $(q^{i},\gamma^{\alpha})$, che in tal caso viene detto $M$-adatto. In questa nota si dimostra in particolare che, nel caso di forze dipendenti dalla velocità al più linearmente, il sistema di coordinate $(q^{i},\gamma^{\alpha})$ è $M$-adatto se e solo se certi coefficienti nell'espressione dell'energia cinetica non dipendono dalle $q^{i}$. Inoltre, data una parametrizzazione $(q^{\prime i} ,y^{\prime})$ 1-adatta, nell'ipotesi di forze posizionali viene provata l'esistenza di una riparametrizzazione $(q^{j},\gamma)$ che soddisfa $\frac{\partial\gamma}{\partial q^{\prime i}} = 0$ identicamente per ogni $i = 1,...,N$ e tale che le $(q^{j},\gamma)$ sono coordinate localmente geodetiche.

Bibliographie

[1] V. Arnold (1980) - Equazioni differenziali ordinarie, MIR, Moscow.

[2] A. Bressan (1987) - On differential systems with impulsive controls, Rend. Sem.. Mat. Un. Padova, 78, 227-236. | fulltext EuDML | fulltext mini-dml | MR

[3] A. Bressan and F. Rampazzo (1988) - On differential systems with vector-valued impulsive control, Boll. Un. Mat. Ital. B, 3, 641-656. | MR | Zbl

[4] A. Bressan (1990) - Hyperimpulsive motions and controllizahle coordinates for Lagrangian systems, To appear on Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sc. Fis. Mat. Natur.

[5] A. Bressan (1990) - On some control problems concerning the ski and the swing, To appear. | MR

[6] A. Bressan (1990) - On some recent results in control theory, for their applications to Lagrangian systems, To appear on Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sc. Fis. Mat. Natur. | MR

[7] A. Bressan (1988) - On the applications of control theory to certain problems for Lagrangian systems, and hyperimpulsive motions for these. I and II, Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sc. Fis. Mat. Nat. 82-1, 91-105 and 107-118. | Zbl

[8] H.J. Sussmann (1978) - On the gap between deterministic and stochastic ordinary differential equations, Ann. of probability, 6(1978), 19-41. | fulltext mini-dml | MR | Zbl