Geodesic
Wallman-type compaerifications and function lattices
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 82 (1988) no. 4, pp. 679-683.

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Let $F \subset C^{\ast} (X)$ be a vector sublattice over $\mathbb{R}$ which separates points from closed sets of $X$. The compactification $e_{F}X$ obtained by embedding $X$ in a real cube via the diagonal map, is different, in general, from the Wallman compactification $\omega (Z(F))$. In this paper, it is shown that there exists a lattice $F_{z}$ containing $F$ such that $\omega (Z(F)) = \omega (Z(F_{z})) = e_{F}X$. In particular this implies that $\omega (Z(F)) \ge e_{F}X$. Conditions in order to be $\omega (Z(F)) = e_{F}X$ are given. Finally we prove that, if $\alpha X$ is a compactification of $X$ such that $Cl_{\alpha X} (\alpha X \setminus X)$ is $0$-dimensional, then there is an algebra $A \subset C^{ast} (X)$ such that $\omega (Z(A)) = e_{A} X = \alpha X$.
Sia $F \subset C^{\ast} (X)$ reticolo ed $\mathbb{R}$ spazio vettoriale che separa i punti dai chiusi. La compattificazione $e_{F}X$, ottenuta immergendo $X$ in un cubo reale mediante l'applicazione diagonale $e_{F}$, è in generale diversa dalla compattificazione di Wallman $\omega (Z(F))$. In questa nota si dimostra che esiste un reticolo $F_{z}$ contenente $F$ tale che $\omega (Z(F)) = \omega (Z(F_{z})) = e_{F}X$. Ciò implica in particolare che $\omega (Z(F)) \ge e_{F}X$. Si danno condizioni necessarie e sufficienti affinché valga l'uguaglianza. Infine si dimostra che, se $\alpha X$ è una compattificazione di $X$ tale che $Cl_{\alpha X} (\alpha X \setminus X)$ è zero-dimensionale, allora esiste un'algebra $A$ di funzioni continue limitate definite su $X$ tale che $\omega (Z(A)) = e_{A} X = \alpha X$. 
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Caterino, Alessandro; Vipera, Maria Cristina. Wallman-type compaerifications and function lattices. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 82 (1988) no. 4, pp. 679-683. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLINA_1988_8_82_4_a7/

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