Some chain rules for certain derivatives of double tensors depending on other such tensors and some point variables. I. On the pseudo-total derivative

Bressan, Aldo

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 80 (1986) no. 3, pp. 116-124

Résumé

Si considerano due spazi $S_{\mu}$ e $S_{\nu}^{\ast}$, Riemanniani e a metrica eventualmente indefinita, riferiti a sistemi di co-ordinate $\emptyset$ e $\emptyset_{\nu}^{\ast}$; e inoltre un doppio tensore $T^{\cdots}_{\cdots}$ associato ai punti $\emptyset^{-1} (x) \in S_{\mu}$ e $\emptyset^{\ast-1} (y) \in S^{\ast}$. Si pensa $T^{\cdots}_{\cdots}$ dato da una funzione $\widetilde{T}^{\cdots}_{\cdots}$ di $m$ altri tali doppi tensori e di variabili puntuali $x (\in \Re^{\mu})$, $t \in \Re$ e $y (\in \Re^{\nu})$; poi si considera la funzione composta $$\widehat{T}^{\cdots}_{\cdots} (x,t,y) = \widetilde{T}^{\cdots}_{\cdots} \bigl[ \underbrace{\breve{H}^{\cdots}_{\cdots} (x,t,y), ... ,\breve{H}^{\cdots}_{\cdots} (x,t,y)}_{1, \ldots, m}, x,t,y \bigr].$$ Nella Parte I si scrivono due regole per eseguire la derivazione totale di questa, connessa con una mappa $\widehat{\mathcal{E}}$$( = \widehat{\mathcal{E}}_{t})$ fra $S_{\nu}^{\ast}$ e $S_{\mu}$; una è a termini generalmente non covarianti e l'altra a termini (sempre) covarianti. Si applicano queste regole per esprimere il risultante $I^{\rho}$ degli sforzi in un corpo (iper-)elastico classico. Nella Parte II si scrivono due regole analoghe per la derivata assoluta di $\widehat{T}^{\cdots}_{\cdots}$, e altre due per la derivata Lagrangiana spaziale (o trasversa) $\widehat{T}^{\cdots}_{\cdots|R}$ di $\widehat{T}^{\cdots}_{\cdots}$. La $\widehat{T}^{\cdots}_{\cdots|R}$ è utile in Relatività generale o ristretta; e si applicano le due regole riferentesi ad essa per scrivere due espressioni di $I^{\rho}$ appunto nel caso di un corpo (iper-)elastico relativistico.