On the adjoint system to a very ample divisor on a surface and connected inequalities. Nota I

Lanteri, Antonio ; Palleschi, Marino

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 71 (1981) no. 5, pp. 66-76.

Résumé

Siano: $S$ una superficie algebrica proiettiva complessa non singolare, $K$ un divisore canonico ed $H$ un divisore molto ampio su $S$. Questo lavoro ha per oggetto lo studio dell'indice di autointersezione $(K + H)^{2}$. Si dimostra, innanzitutto, la disuguaglianza \begin{equation*} \tag{I} (K+H)^{2} \ge 0 \end{equation*}, nell'ipotesi che la superficie $S^{\prime}$ ottenuta immergendo $S$ mediante il sistema lineare completo $|H|$ non sia uno scroll. Questa disuguaglianza è connessa con alcuni risultati di Sommese e Van de Ven sulla generazione del fascio $\mathcal{O}_{s}(K + H)$. La dimostrazione della (I) qui fornita, evidenzia, tra le superficie per le quali la (I) vale con il segno uguale, la classe delle rigate in coniche. Successivamente si osserva che, escludendo le superfici per le quali la (I) vale con il segno uguale, la disuguaglianza stessa può essere rafforzata. Si dimostra che per una superficie $S\subset \bf{P}^{n}$ con genere sezionale $g \ge 3$ che non sia nè uno scroll nè una rigata in coniche, risulta \begin{equation*} \tag{II} (K+H)^{2} \ge p_{g} + g - q - 2 \end{equation*}, $p_{g}$ e $q$ essendo rispettivamente il genere geometrico e l'irregolarità di $S$. Si prova pure che l'uguaglianza nella (II) sussiste se e solo se $S$ è una superficie razionale rigata in cubiche, con l'eccezione di due superfici razionali delle quali si descrive il modello piano. Le disuguaglianze precenti possono essere applicate nello studio delle superfici con genere sezionale $g$ assegnato. A titolo di esempio si classificano le superfici con $g \le 4$ ritrovando e precisando alcuni risultati classici.