Geodesic
Sulle rigate ellittiche
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 67 (1979) no. 1-2, pp. 87-94.

Voir la notice de l'article provenant de la source Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Let $X \subset \mathbf{P}^{r}$ be a complex smooth algebraic surface, the general hyperplane section of which is an elliptic curve. A classical Theorem due to G. Castelnuovo ([1]) states that if $X$ is not an elliptic scroll then $X$ is a rational surface. Castelnuovo achieves this result by showing that if $X$ is not a scroll, then a suitable linear system of hypersurfaces in $\mathbf{P}^{r}$ exhibits $X$ as a projective model of a surface of degree $d$ in $\mathbf{P}^{d}$, which is not a scroll; hence $X$ is rational. In this paper we supply a new proof of the previous result (Teorema 3.1) (over an algebraically closed field). This proof allows us to describe, in the class of the (smooth) linearly normal surfaces, the elliptic scrolls as the surfaces of degree $d$ in $\mathbf{P}^{d-1}$ with elliptic general hyperplane section. Our argument is supported by the following fact (Proposizione 3.1): let $\rho:S\rightarrow Y \subset \mathbf{P}^{r-1}$ be the projection of a smooth surface $S \subset \mathbf{P}^{r}$ from a point $p \in S$; if $Y$ is a (smooth) scroll then either $S$ is a rational surface or $S$ itself is a scroll. In the latter case $\rho$ is an elementary transformation with center $p$; hence the elementary transformations, introduced by Nagata in [5], can be seen as projections. Finally we give an explicit description of projective models of the elliptic scrolls. This construction generalizes the one given in [3] for the elliptic scroll in $\mathbf{P}^{4}$ and shows the links between the degree, the invariant and the hyperplane class of such surfaces. 
@article{RLINA_1979_8_67_1-2_a15,
     author = {Lanteri, Antonio and Palleschi, Marino},
     title = {Sulle rigate ellittiche},
     journal = {Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali},
     pages = {87--94},
     publisher = {mathdoc},
     volume = {Ser. 8, 67},
     number = {1-2},
     year = {1979},
     zbl = {0474.14019},
     mrnumber = {330515},
     language = {it},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLINA_1979_8_67_1-2_a15/}
}
TY  - JOUR
AU  - Lanteri, Antonio
AU  - Palleschi, Marino
TI  - Sulle rigate ellittiche
JO  - Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali
PY  - 1979
SP  - 87
EP  - 94
VL  - 67
IS  - 1-2
PB  - mathdoc
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLINA_1979_8_67_1-2_a15/
LA  - it
ID  - RLINA_1979_8_67_1-2_a15
ER  - 
%0 Journal Article
%A Lanteri, Antonio
%A Palleschi, Marino
%T Sulle rigate ellittiche
%J Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali
%D 1979
%P 87-94
%V 67
%N 1-2
%I mathdoc
%U http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLINA_1979_8_67_1-2_a15/
%G it
%F RLINA_1979_8_67_1-2_a15
Lanteri, Antonio; Palleschi, Marino. Sulle rigate ellittiche. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 67 (1979) no. 1-2, pp. 87-94. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLINA_1979_8_67_1-2_a15/

[1] G. Castelnuovo (1894) - Sulle superficie algebriche le cui sezioni piane sono curve ellittiche. «Rend. Accad. Naz. Lincei» (5) 3, 229-232. | MR

[2] R. Hartshorne (1977) - Algebraic Geometry. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York. | Zbl

[3] A. Lanteri e M. Palleschi (1978) - Osservazioni sulla rigata geometrica ellittica di $\mathbf{P}^{4}$. «Istituto Lombardo (Rend. Sc.)», A 112, 223-233. | MR

[4] A. Lanteri e M. Palleschi (1979) - Sulle superfici di grado piccolo in $\mathbf{P}^{4}$. «Istituto Lombardo (Rend. Sc.)», A 113 (in corso di stampa).

[5] M. Nagata (1960) - On rational surfaces I. «Mem. Coll. Sci. Kyoto» (A) 32, 351-370.

[6] M. Nagata (1970) - On self-intersection number of a section on a ruled surface. «Nagoya Math. J.», 37 191-196. | MR

[7] I.R. Shafarevich e altri (1965) - Algebraic Surfaces. «Proc. Steklov Inst. Math.», 75 (trad. «Amer. Math. Soc.», 1967). | MR