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Osservazioni sulla linearizzazione di un operatore differenziale
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 65 (1978) no. 1-2, pp. 27-37

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In order to obtain some theorems of local existence and uniqueness for a non-linear differential problem and investigate about the significance of its linearization, we study the differentiability of a non-linear operator acting among Banach spaces for which the (formally) linearized operator is an isomorphism. We give a definition of “admissible linearization” with respect to a pair of Banach spaces. We consider a differential operator $T$ of the form $Tu = D^{*} a(x,Du)$, [where $Du$ is the gradient of $u$ and $D^{*}$ is the formal transpose of $D$] and by using the results of [7] we give examples of admissible and non-admissible linearizations for the Dirichlet problem. 
Valent, Tullio. Osservazioni sulla linearizzazione di un operatore differenziale. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 65 (1978) no. 1-2, pp. 27-37. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLINA_1978_8_65_1-2_a4/
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[1] S. Campanato (1965) - Equazioni ellittiche del II ordine e spazi $\mathcal{L}^{(2,\lambda)}$, «Annali di Matematica», 69, 321, 381. | DOI | MR | Zbl

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[4] F. E. Browder (1960) - A priori estimates for solutions of elliptic boundary-value problems, «Indagationes Math.», 22, 145-169. | MR | Zbl

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[6] G. Prodi e A. Ambrosetti (1973) - Analisi non lineare, I Quaderno, Sc. Nomale Sup. Pisa. | Zbl

[7] T. Valent - Sulla differenziabilità dell'operatore di Newytsky, «Rend. Acc. Naz. Lincei», fasc. n. 1-2 di questo stesso volume.