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Gravitational field theory for the continuum: second order field equations
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 64 (1978) no. 6, pp. 603-609 
Spinelli, Giancarlo. Gravitational field theory for the continuum: second order field equations. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 64 (1978) no. 6, pp. 603-609. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLINA_1978_8_64_6_a9/
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Una teoria del campo gravitazionale generato da un mezzo materiale continuo, può essere anche formulata a partire dallo spazio-tempo pseudo-euclideo nonrinormalizzato, come una teoria di campo nella quale il potenziale gravitazionale è rappresentato da un tensore doppio simmetrico $\psi_{\alpha\beta}$ Avendo adottato, per comodità, una formulazione variazionale, la natura continua della materia gravitante introduce vincoli nuovi rispetto al noto caso della particella puntiforme. La teoria viene costruita in modo iterativo; nella pre sente Nota vengono dati gli sviluppi dettagliati, di possibile utilità applicativa, sino al secondo ordine.

[1] See for example J.A. Wheeler, in The Physicist's Conception of Nature, Dirac 70th anniversary volume (Dordrecht and Boston).

[2] W. Thirring (1961) - «Ann. Phys. (N.Y.)», 16, 96. See also R. U. Sexl (1967) - «Fortschr. Phys.», 15, 269. | DOI | MR

[3] S. Deser (1970) - «Gen. Relativ. Gravit.», 1, 9. | MR

[4] G. Cavalieri and G. Spinelli (1975) - «Phys. Rev.», 12 D, 2203. | DOI | MR

[5] G. Cavalieri and G. Spinelli (1977) - «Nuovo Cimento», 39 B, 93.

[6] C. Cattaneo (1973) - «Boll. U.M.I.», 8 Suppl, fasc. 2, 49.

[7] We employ here point transformations, not to be confused with coordinate transformations. See for instance, F. Plybon (1971) - «Journ. Math. Phys.», 12, 57.

[8] G. Cavalieri and G. Spinelli (1977) - «Nuovo Cimento», 39 B, 87.

[9] L. D. Landau and E. M. Lifshitz (1962) - The Classical Theory of Fields, second edition (Oxford, 1962), Sect. 94. | MR | Zbl

[10] G. Cavalieri and G. Spinelli (1975) - «Phys. Rev.», 12 D, 2200. | DOI | MR

[11] Directly by the definition of the deformation tensor. See for example L. D. Landau and E. M. Lifshitz (1959) - Theory of Elasticity, (London) Chapt. 1. | MR

[12] Parentheses containing two indices, denote symmetrization, e.g. $\psi_{\alpha(\beta;\gamma)} = \psi_{\alpha\beta;\gamma} + \psi_{\alpha\gamma;\beta)}$. The traces of tensor are written by suppresing the repeated indices e.g. $\psi_{\sigma}^{\sigma} = \psi$. Finally $\square$ is the d'Alembertian operator i.e. $\square \psi_{\alpha\beta} = \psi_{\alpha\beta;\lambda^{\lambda}}$.

[13] W. Wiss (1965) - «Helv. Phys. Acta», 38, 469.

[14] R. H. Dicke (1964) - The Theoretical Significance of Experimental Relativity, (New York, N.Y.). | MR | Zbl

[15] As shown in Ref. [2] an atom put in the gravitational field, undergoes, in the linear approximation, a deformation given by a tensor $f\psi_{\alpha\beta}$. It is the same deformation to which real rods and clocks (made out of atoms) are subjected, so that a real observer does not measure a pseudo-Euclidean but a Riemannian space-time. Taking into account that the matter is made out of atoms, all the objects are deformed by gravity in the unrenormalized picture. Hence, in such space-time a variation $\delta\psi_{\alpha\beta}$ causes an increase of the deformation tensor equal to $f\delta\psi_{\alpha\beta}$.