An approximation method of the first eigenvalue in nonlinear eigenvalue problems

Micheletti, Anna Maria ; Zirilli, Francesco

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 59 (1975) no. 1-2, pp. 32-33

Résumé

Sia $\{ \psi_{i} \}^{\infty}_{i=1}$ una base ortonormale completa di uno spazio di Hilbert separabile $H$, e $V^{N} \subset H$ il sottospazio generato da $\{ \psi_{1} , \psi_{2} \cdots \psi_{N} \}$. Sia $\Phi(u)$$u \in H$ un funzionale pari limitato inferiormente di classe $\mathcal{C}^{2}$ e $\tilde{S} = \{ v \in H \mid \| v \|=1, \, \text{con i punti antipodali identificati} \}$. Si dimostra che, se $(\tilde{S} , \Phi)$ soddisfa la condizione di Palais-Smale, allora $c^{N}_{1} (\Phi) \to c_{1},(\Phi)$, quando $N \to + \infty$, dove $$c^{N}_{1} (\Phi)= \inf_{\substack{\operatorname{cat}(A) \ge 1 \\ A \subset \tilde{S}}} \sup \,\{ \varphi(u) \mid u \in A \cap V^{N} \} \quad e \quad c_{1} (\psi)= \inf_{\substack{\operatorname{cat}(A) \ge 1 \\ A \subset \tilde{S}}} \sup \,\{ \varphi(u) \mid u \in A \}.$$