A generalized Leray-Schauder condition

Martelli, Mario ; Vignoli, Alfonso

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 57 (1974) no. 5, pp. 374-379

Résumé

Sia $f : \bar{B} \to E$ una funzione continua, addensante definita nel disco unitario $\bar{B}$ di uno spazio di Banach $E$, e senza punti fissi sulla frontiera $S$ di $\bar{B}$. È noto che in tal caso deg $(I - f) B, 0)$ è definito (cfr. Nussbaum, [6]) e se è diverso da zero allora il campo vettoriale $I - f: \bar{B} \to E$, $(I - f)(x) = x - f(x)$, ha almeno un punto singolare $x_{0} \in B$. Una condizione che implica deg $(I - f, B, 0) \ne 0$ è la cosiddetta condizione di Leray-Schauder \begin{equation*}\lambda x = f(x) \quad \text{per qualche} \quad x \in S \to \lambda \le 1\end{equation*} In questo lavoro si dà una condizione più generale di quella di Leray-Schauder. Essa può essere applicata anche quando f è definita sulla chiusura $\bar{\Omega}$ di un insieme aperto e limitato $\bar{\Omega} \subset E$. Si rileva anche che, oltre a quella di Leray-Schauder, rientrano nella condizione qui presentata le più note condizioni sulla frontiera che assicurano l'esistenza di un punto singolare del campo vettoriale $I - f$.