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Remarks on some representation theorems for convolution transforms
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 54 (1973) no. 4, pp. 562-566.

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L'Autore dà due criteri necessari e sufficienti perché una funzione $f(x)$ possa essere rappresentata da una trasformazione di convoluzione \begin{equation*} f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x-t) \, d\alpha(t), \quad -\infty x \infty,\end{equation*} nel caso che il nucleo $G(x)$ sia della classe 1 o della classe 3 ed esista un $x_{0}$ tale che \begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty} G(x_{0}-t) \, |d\alpha(t)| \le M \infty,\end{equation*} essendo $\alpha(t)$ una funzione localmente a variazione limitata. 
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[1] Z. Ditzian, On representation of functions as convolution transforms, «Annali di Matematica Pura ed Appl.», ser. 4, 92, 95-106 (1972). | DOI | MR | Zbl

[2] I. I. Hirschman and D. V. Widder, The convolution transform, Princeton Univ. Press, Princeton 1955. | MR | Zbl