Sui mosaici dello spazio di dimensione n.

Molnár, Emil

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 51 (1971) no. 3-4, pp. 177-185

Résumé

Spiegeln wir einen Würfel im m-dimensionalen euklidischen Raum auf jede von seinen Seitenhyperebenen, so gewinnen wir ein aus 2n+1 Würfeln bestehendes "Kreuz". F. KÁRTESZI warf die Frage auf [1], ob der Raum mit kongruenten, einander teilweise nicht überdeckenden Kreuzen lückenlos ausfüllbar sei. Wir sprechen kürzlich nur über Kreuzausfüllung. Es handelt sich im weiteren um eine gitterförmige Kreuzausfüllung, die Kreuzmittelpünkte bilden also ein n-dimensinales Punktgitter. Wir identifizieren zwei gitterförmige Kreuzausfüllungen, wenn es eine solche, die zu den Ausfüllungen gehörenden Würfelgitter ineinander abbildende, lineare Abbildung gibt, die die durch die Kreuzmittelpünkte bestimmte Punktgitter auch einander zuordnet. Das Hauptresultat der vorligenden Arbeit ist der folgende SATZ: Die verschiedene gitterförmige Kreuzausfüllungen des n-dimensionalen euklidischen Raumes und die miteinander nicht isomorphe Abelsche Gruppen von der Ordnung 2n+1 können einander ein—eindeutig zugeordnet werden. Die Anzahl der verschiedenen gitterförmigen Kreuzausfüllungen $ist \, f(n) = g(\alpha_{1}) g(\alpha_{2}) \cdots g(\alpha_{s})$. Hier ist $2n+1 = p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{s}^{\alpha_{s}}$ die Primfaktorisation der Zahl 2n+1, und $g(alpha)$ ist die Anzahl der wesentlich verschiedenen addiviten Herstellungen der natürlichen Zahl $\alpha$ aus positiven ganzen Summanden.