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An intersection theorem in Banach spaces
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 49 (1970) no. 3-4, pp. 180-183

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Let the Banach space $X = A \oplus B$ be the direct sum of two subspaces $A, B \subset X$, and let $f : A \to X$, $g : B \to X$ be continuous mappings. A condition is given on $f$ and $g$ in order to ensure that the intersection $f(A) \cap g(B)$ is not empty. 
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Vignoli, Alfonso. An intersection theorem in Banach spaces. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 49 (1970) no. 3-4, pp. 180-183. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLINA_1970_8_49_3-4_a1/