A generalization of the l1-algebra of a commutative semi-group

Akinyele, Olusola

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 49 (1970) no. 1-2, pp. 17-22

Résumé

Dato un semigruppo commutativo discreto $S$, e un'algebra di Banach commutativa $A$ con o senza identità, consideriamo il convoluto in algebra di Banach $l_{1}(S,A)$, consistente di tutte le funzioni $f$ definite in $S$ con valori di $A$ tali che $\displaystyle \sum_{s \in S} \| f(s) \|_{A}$ sia finito. Nel lavoro $\hat{S}$ indica l'insieme di tutti gli ideali massimi regolari dell'algebra $A$. Nella 3 parte abbiamo dimostrato il seguente teorema: per ogni $f$ e $l_{1}(S,A)$ si definisca la "trasformata" di $f$ rispetto a un punto fisso $(M,\chi)$ di 011 $\mathfrak{M} (A) \times \hat{S}$ come $$J_{(\mathfrak{M},\chi)} (f) = \displaystyle \sum_{s \in S} \varphi_{m} (f(s)) \chi(s)$$ dove $\varphi_{m}$ è un omomorfismo continuo di $A$ sui numeri complessi. Allora $J_{(\mathfrak{M},\chi)}$ è un omomorfismo continuo non nullo di $l_{1}(S,A)$. Reciprocamente, dato un omomorfismo continuo non nullo $h$ su $l_{1}(S,A)$, $\exists (M,\chi) \in \mathfrak{M} (A) \times \hat{S}$, tale che per $f \in l_{1}(S,A)$, $h(f) = J_{(M,\chi)}(f)$. Nella quarta parte, sotto le condizioni che $S$ ha la proprietà che $xy = x^{2} = y^{2}$ comporta che $x=y$ per $x, y \in S$, otteniamo una condizione necessaria e sufficiente perché $l_{1}(S,A)$ sia semisemplice.