Valeurs normales dans un groupe réticulé

Wolfenstein, Samuel

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 44 (1968) no. 3, pp. 337-342

Résumé

Sia G un gruppo reticolato, M un l-sottogruppo convesso di G (ossia un sottogruppo convesso che in pari tempo sia un sottoreticolo per l'ordine indotto). Si dice che M è un valore di G se M è interirriducibile nel reticolo di tutti gli l-sottogruppi convessi di G; e ch'esso è un valore normale se M è invariante entro l'l-sottogruppo convesso che lo ricopre. In questa Nota vengono stabilite quattro condizioni necessarie e sufficienti affinché un valore M risulti normale. La più utile fra queste è la seguente: M è normale se, e soltanto se, esiste un x di G+\M tale che, per ogni y di G+\M, v'è un intero razionale n ed un elemento m di M tale che m + x ny. Questo criterio viene utilizzato per mostrare che, se un l-sottogruppo convesso massimale M di G non è invariante, il suo normalizzatore N o si riduce ad M oppure è un sottogruppo proprio di G tale che N/M risulta isomorfo al gruppo additivo degli interi razionali. Da ultimo vengono caratterzzati i gruppi reticolati in cui ogni valore risulta normale, mostrando fra l'altro ch'essi costituiscono una varietà di gruppi reticolati.