On the existence of certain systems of plane elliptic curves: Condition for Cremonian reducibility to a Halphen-pencil

Sundet, Knut Lage

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 38 (1965) no. 3, pp. 362-368

Résumé

Si consideri un sistema $(\varphi)$ di curve piane algebriche d'ordine $n$, avente $P_{1}, P_{2}, \dots , P_{i}$ come punti base di molteplicità virtuali $r_{1}, r_{2}, \dots , r_{i}$ ed il genere virtuale 1. In questa Nota si esamina anzitutto la possibilità che $(\varphi)$ sia trasformabile in un fascio di Halphen mediante una trasformazione cremoniana, sotto la condizione che $(\varphi)$ abbia dimensione virtuale zero. All'uopo è necessario che $n$ e $r_{t} (t = 1, 2, \dots , i)$ ammettano un comune fattore r > 1. Supposta questa condizione verificata, denotiamo con C la curva d'ordine m che passa per i punti base $P_{t} (t = 1, 2, \dots , i)$ con molteplicità virtuali $v_{t}$ dove $n = m r$ e $r_{t} = rv_{t}$. Viene allora dimostrato che il sistema $(\varphi)$, è trasformabile in un fascio di Halphen se, e solamente se, il punto d'intercezione - distinto dai $P_{t}$ - di una certa curva R d'ordine $n_{1}$ e della C è tra i punti (r-1)-pli della $g^{r-2}_{r-1}$ segata su C o su una parte di C da un certo sistema di curve d'ordine $n + (r-1) n_{1}$. Applicando questo risultato insieme con la condizione per la riducibilità ad un fascio di cubiche, ottenute in [3], è possibbile di caratterizzare tutti i casi in cui $(\varphi)$ degenera, la dimensione virtuale essendo uno o zero.