Geodesic
Il teorema di Liouville ovvero perchè “non esiste” la primitiva di $e^{x^2}$
La Matematica nella società e nella cultura, Série 1, Tome 7 (2014) no. 1, pp. 55-97.

Voir la notice de l'article provenant de la source Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

La primitiva della funzione $x \mapsto e^{x^2}$ non è esprimibile in termini elementari: si tratta di un fatto ben noto, dimostrato per la prima volta da Liouville nel diciannovesimo secolo. Ciononostante la dimostrazione è poco conosciuta. In questa nota mi propongo di dame un resoconto completo, ponendo l’accento sulle idee più importanti, ma includendo anche una trattazione il più elementare possibile di tutti i dettagli tecnici. Questo lavoro è l’elaborazione di una conferenza tenuta dall’autore il 29 settembre 2012 presso il Liceo cantonale di Bellinzona, nell’ambito del convegno “L’eredità di Evariste Galois, matematico erivoluzionario. Convegno sulla Teoria di Galois e le sue applicazioni”, organizzato dalla Commissione di Matematica della Svizzera Italiana. La nota è già apparsa nel periodico “Il Volterriano”, una pubblicazione curata da alcuni professori di matematica del Liceo di Mendrisio, che ne ha gentilmente concesso la riproduzione su questa rivista.
It is well known that the primitive of the real function $x \mapsto e^{x^2}$ cannot be expressed in terms of “elementary functions”. This theorem was first proved by Liouville in the nineteenth century. Nonetheless it seems that very few mathematicians know how it is proved. In this manuscript I explain the proof, following a modern version of Liouville’s ideas and based on the works of Rosenlicht and Ostrowski. The most important points are explained in a quite elementary way, but on the other hand the interested reader will find also a complete and quite detailed account of all the aspects, including the most technical ones. This note is indeed the written acount of a lecture given in the Liceo Cantonale di Bellinzona, as part of the conference “L’eredità di Evariste Galois, matematico e rivoluzionario. Convegno sulla teoria di Galois e le sue applicazioni”, organized by the Commissione di Matematica della Svizzera Italiana. It has already appeared in “Il Volterriano”, a journai published by the mathematics teachers from the Liceo di Mendrisio, who have kindly allowed me to publish it also here in a slightly modified form. 
@article{RIUMI_2014_1_7_1_a2,
     author = {De Lellis, Camillo},
     title = {Il teorema di {Liouville} ovvero perch\`e {\textquotedblleft}non esiste{\textquotedblright} la primitiva di $e^{x^2}$},
     journal = {La Matematica nella societ\`a e nella cultura},
     pages = {55--97},
     publisher = {mathdoc},
     volume = {Ser. 1, 7},
     number = {1},
     year = {2014},
     zbl = {46.1461.03},
     mrnumber = {3235967},
     language = {it},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/item/RIUMI_2014_1_7_1_a2/}
}
TY  - JOUR
AU  - De Lellis, Camillo
TI  - Il teorema di Liouville ovvero perchè “non esiste” la primitiva di $e^{x^2}$
JO  - La Matematica nella società e nella cultura
PY  - 2014
SP  - 55
EP  - 97
VL  - 7
IS  - 1
PB  - mathdoc
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/item/RIUMI_2014_1_7_1_a2/
LA  - it
ID  - RIUMI_2014_1_7_1_a2
ER  - 
%0 Journal Article
%A De Lellis, Camillo
%T Il teorema di Liouville ovvero perchè “non esiste” la primitiva di $e^{x^2}$
%J La Matematica nella società e nella cultura
%D 2014
%P 55-97
%V 7
%N 1
%I mathdoc
%U http://geodesic.mathdoc.fr/item/RIUMI_2014_1_7_1_a2/
%G it
%F RIUMI_2014_1_7_1_a2
De Lellis, Camillo. Il teorema di Liouville ovvero perchè “non esiste” la primitiva di $e^{x^2}$. La Matematica nella società e nella cultura, Série 1, Tome 7 (2014) no. 1, pp. 55-97. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RIUMI_2014_1_7_1_a2/

[1] Acquistapace P., Conti F. and Savojni A., Analisi matematica. Teoria e applicazioni. McGraw Hill, Milano, 2001.

[2] Atijah M. F. and Macdonald I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley series in mathematics. Westview Press, 1969. | MR

[3] Czaport S. R., Geddes G. O. and Labahn G., Algorithms for computer algebra. Kluwer Academic Publishers, 1992. | DOI | MR

[4] Griffiths P. and Harris J., Principles of algebraic geometry. Wiley classic library. Wiley, New York, 1994. | DOI | MR

[5] Hardy G. H., The integration of functions of a single variable. Cambridge Univ. Tracts in Mathematics and Mathematical physics. Cambridge University Press, Cambridge, 1916. | MR | Zbl

[6] Herstein I. N., Algebra. Editori Riuniti, 1999.

[7] Liouville J., Mémoire sur les Trascendantes Elliptiques et sur l'impossibilité d'exprimer les racines de certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. J. Math. Pures Appl. 2 pp. 124-193 (1837).

[8] Magid A. R., Lectures on differential Galois theory. University Lecture Series, 7. American Mathematical Society, Providence, RI, 1994. | DOI | MR | Zbl

[9] Magid A. R., Differential Galois theory. Notices Amer. Math. Soc. 46 (9) pp. 1041-1049 (1999). | MR | Zbl

[10] Mordukhai-Boltovskoj D. D., Sur la résolution des équations différentielles du premier ordre en forme finie. Rend. Circ. Mat. Palermo 61 pp. 49-72 (1937).

[11] Ostrowski A., Sur l'intégrabilité élémentaire de quelques classes d'expressions. Comm. Math. Helv. 18 pp. 283-308 (1946). | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[12] Van Der Put M. and Singer M. F., Galois theory of linear differential equations. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 328. Springer-Verlag, Berlin, 2003. | DOI | MR | Zbl

[13] Risch R. H., The solution of the problem of integration in finite terms. Bull. Amer. Math. Soc. 76 pp. 605-608 (1970). | DOI | MR | Zbl

[14] Ritt J. F., Integration in finite terms: Liouville's theory of elementary models. Columbia Univ. Press, New York, 1948. | MR | Zbl

[15] Rosenlicht M., Integration in finite terms. Amer. Math. Monthly 79 (9) pp. 963-972 (1972). | DOI | MR | Zbl

[16] Shabat B. V., Introduction to complex analysis. American Mathematical Society, Providence, RI, 1992. | MR | Zbl