Les fondements de la géométrie selon Friedrich Schur

Voelke, Jean-Daniel

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 16 (2010) no. 2, pp. 217-286

Résumé (VO)

Friedrich Schur (1856-1932) a accompli d’importantes recherches sur les fondements de la géométrie à la même époque que Hilbert. Elles ont trouvé leur aboutissement dans un livre publié en 1909 et intitulé, comme celui de Hilbert, Grundlagen der Geometrie. La construction axiomatique exposée par Schur est originale et différente de celle de Hilbert. Elle trouve son origine dans les travaux de Pasch et Peano. Elle prend comme point de départ la géométrie projective et accorde une place centrale à la notion de déplacement. Elle repousse le plus loin possible l’utilisation de l’axiome d’Archimède et permet de fonder simultanément plusieurs géométries. L’article retrace d’abord la genèse des recherches de Schur. Il présente ensuite en détail les différentes étapes de sa construction axiomatique. Il essaie enfin d’expliquer pourquoi le livre de Schur est aujourd’hui presque oublié alors que celui de Hilbert est toujours étudié.

Abstract

Friedrich Schur (1856-1932) carried out important research on the foundations of geometry in the same period as Hilbert. Schur’s conclusions were published in 1909 in a book entitled, as Hilbert’s, Grundlagen der Geometrie. The axiomatic construction exposed by Schur is original and different from Hilbert’s. Its roots lie in projective geometry and it gives an essential place to the notion of displacement. As far as possible it avoids the use of the postulate of Archimedes and allows a simultaneous foundation of several geometries. This paper first gives an account of the genesis of Schur’s research. It then presents in detail the different steps of his axiomatic construction. Finally it tries to explain why today Schur’s book is nearly forgotten while Hilbert’s is still studied.

Détail

Classification : 01A55, 01A60, 51-03
Mots-clés : Friedrich Schur, David Hilbert, géométrie projective, géométrie non euclidienne, fondements de la géométrie
Keywords: Friedrich Schur, David Hilbert, projective geometry, non euclidean geometry, foundations of geometry