À propos de mathématiques

Groupes de séries et renormalisation des champs quantiques

Frabetti, Alessandra¹ 

¹ Institut Girard Desargues Bât. Braconnier Université de Lyon 1 21, avenue Claude Bernard 69622 Villeurbanne Cedex

Femmes & math, Tome 7 (2004), pp. 31-44

Résumé

Les champs quantiques traditionnellement se renormalisent de façon perturbative, sur chaque coefficient des séries correspondantes. Les formules de renormalisation « globale » de Dyson suggèrent d’interpréter la renormalisation comme un mélange convenable de produits et compositions des séries invoquées. Cette interprétation est cohérente avec les travaux récents de Connes et Kreimer : ils montrent que la renormalisation des champs quantiques scalaires est gouvernée par une algèbre de Hopf commutative, à voir donc comme algèbre de fonctions sur le groupe de renormalisation.

Pour l’électrodynamique quantique, les propagateurs sont des matrices 4×4 et les facteurs de renormalisation ne sont plus forcément scalaires : ils ne peuvent plus être des caractères de l’algèbre de Connes et Kreimer. En effet, aucun principe de dualité n’est valable pour des caractères non commutatifs, mais avec Ch. Brouder on montre qu’il existe des algèbres de Hopf ni commutatives ni cocommutatives qui gouvernent la renormalisation de l’électrodynamique quantique. De plus, ces algèbres sont définies sur l’ensemble des arbres binaires planaires, et donnent naturellement lieu à un nouveau groupe de séries formelles développées sur les arbres.