Geodesic
Basilejský problém devětkrát jinak
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Tome 67 (2022) no. 4, pp. 201-222

Voir la notice de l'article provenant de la source Czech Digital Mathematics Library

V tomto článku podrobně rozebereme celkem devět řešení tzv. basilejského problému (hledání součtu převrácených hodnot druhých mocnin přirozených čísel). První publikované řešení od L. Eulera využívá rozkladu ``nekonečného polynomu'' na součin kořenových činitelů. Druhé řešení pracuje s Taylorovým rozvojem funkce arkussinus a rekurentním vzorcem pro jistý určitý integrál, třetí je založeno na vztazích mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou a výpočtu limity s využitím l'Hospitalova pravidla. Ve čtvrtém řešení odvodíme výsledek pomocí Parsevalovy rovnosti. V pátém nám poslouží transformace dvojného integrálu a Fubiniova věta. V následujících dvou jsou primárními nástroji funkce gama, digama a trigama. V prvním z nich převedeme problém pomocí funkce digama na výpočet limity, ve druhém pak na základě fyzikální interpretace dostaneme hledaný výsledek jako hodnotu funkce trigama v určitém bodě. Předposlední postup využívá teorii pravděpodobnosti a vzorec pro hustotu podílu dvou náhodných veličin. Poslední se pak opět vrací ke vztahům mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou, pomocí nichž vypočítáme jistý integrál.
Classification : 11M06, 40A25 
@article{PMFA_2022__67_4_a0,
     author = {Haluza, Jan},
     title = {Basilejsk\'y probl\'em dev\v{e}tkr\'at jinak},
     journal = {Pokroky matematiky, fyziky a astronomie},
     pages = {201--222},
     publisher = {mathdoc},
     volume = {67},
     number = {4},
     year = {2022},
     zbl = {07729602},
     language = {cz},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/item/PMFA_2022__67_4_a0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Haluza, Jan
TI  - Basilejský problém devětkrát jinak
JO  - Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
PY  - 2022
SP  - 201
EP  - 222
VL  - 67
IS  - 4
PB  - mathdoc
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/item/PMFA_2022__67_4_a0/
LA  - cz
ID  - PMFA_2022__67_4_a0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Haluza, Jan
%T Basilejský problém devětkrát jinak
%J Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
%D 2022
%P 201-222
%V 67
%N 4
%I mathdoc
%U http://geodesic.mathdoc.fr/item/PMFA_2022__67_4_a0/
%G cz
%F PMFA_2022__67_4_a0
Haluza, Jan. Basilejský problém devětkrát jinak. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Tome 67 (2022) no. 4, pp. 201-222. http://geodesic.mathdoc.fr/item/PMFA_2022__67_4_a0/