Realisable classes, Stickelberger subgroup and its behaviour under change of the base field

Siviero, Andrea¹

¹ Université Bordeaux I – 351, cours de la Libération – F 33405 Talence cedex – Universiteit Leiden – Niels Bohrweg, 1 – 2333 CA Leiden

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2015), pp. 69-92

Abstract (VO)

Let $K$ be an algebraic number field with ring of integers $O_K$ and let $G$ be a finite group. We denote by $\mathrm{R}\left(O_K\left[G\right]\right)$ the set of classes in the locally free class group $\mathrm{Cl}\left(O_K\left[G\right]\right)$ realisable by rings of integers in tamely ramified $G$-Galois $K$-algebras. McCulloh showed that, for every $G$, the set $\mathrm{R}\left(O_K\left[G\right]\right)$ is contained in the so-called Stickelberger subgroup $\mathrm{St}\left(O_K\left[G\right]\right)$ of $\mathrm{Cl}\left(O_K\left[G\right]\right)$.

In this paper first we describe the relation between $\mathrm{St}\left(O_K\left[G\right]\right)$ and ${\mathrm{Cl}}^{\circ }\left(O_K\left[G\right]\right)$, where ${\mathrm{Cl}}^{\circ }\left(O_K\left[G\right]\right)$ is the kernel of the morphism $\mathrm{Cl}\left(O_K\left[G\right]\right)⟶\mathrm{Cl}\left(O_K\right)$, induced by the augmentation map $O_K\left[G\right]⟶O_K$. Then, as an example of computation of $\mathrm{St}\left(O_K\left[G\right]\right)$, we show, just using its definition, that $\mathrm{St}\left(\mathbb{Z}\right[G\left]\right)$ is trivial, when $G$ is a cyclic group of order $p$ or a dihedral group of order $2p$, where $p$ is an odd prime number.

Finally we prove that $\mathrm{St}\left(O_K\left[G\right]\right)$ has good functorial behaviour under change of the base field. This has the interesting consequence that, given an algebraic number field $L$, if $N$ is a tame Galois $L$-algebra with Galois group $G$ and $\mathrm{St}\left(O_K\left[G\right]\right)$ is known to be trivial for some subfield $K$ of $L$, then $O_N$ is stably free as an $O_K\left[G\right]$-module.

Résumé

Soient $K$ un corps de nombres d’anneau des entiers $O_K$ et $G$ un groupe fini. On note $\mathrm{R}\left(O_K\left[G\right]\right)$ l’ensemble des classes dans le groupe des classes des modules localement libres $\mathrm{Cl}\left(O_K\left[G\right]\right)$ qui peuvent être obtenues par l’anneau des entiers des K-algèbres galoisiennes modérément ramifiées de groupe de Galois $G$. McCulloh a prouvé que, pour tout $G$, l’ensemble $\mathrm{R}\left(O_K\left[G\right]\right)$ est contenu dans le soi-disant sous-groupe de Stickelberger $\mathrm{St}\left(O_K\left[G\right]\right)$ dans $\mathrm{Cl}\left(O_K\left[G\right]\right)$.

Dans ce papier d’abord nous nous focalisons sur la relation entre $\mathrm{St}\left(O_K\left[G\right]\right)$ et ${\mathrm{Cl}}^{\circ }\left(O_K\left[G\right]\right)$, où ${\mathrm{Cl}}^{\circ }\left(O_K\left[G\right]\right)$ est le noyau du morphisme $\mathrm{Cl}\left(O_K\left[G\right]\right)⟶\mathrm{Cl}\left(O_K\right)$, induit par l’augmentation $O_K\left[G\right]⟶O_K$. Puis, comme exemple de calcul du groupe $\mathrm{St}\left(O_K\left[G\right]\right)$, nous montrons, en utilisant sa définition, que $\mathrm{St}\left(\mathbb{Z}\right[G\left]\right)$ est trivial si $G$ est soit un groupe cyclique d’ordre $p$ soit un groupe diédral d’ordre $2p$, avec $p$ premier impair.

Enfin, nous montrons la fonctorialité de $\mathrm{St}\left(O_K\left[G\right]\right)$ par rapport au changement du corps de base. Ceci implique que, soit $L$ est un corps de nombres, si $N$ est une $L$-algèbre galoisienne modérément ramifiée, de groupe de Galois $G$, et $\mathrm{St}\left(O_K\left[G\right]\right)$ est connu être trivial pour un certain sous-corps $K$ de $L$, alors $O_N$ est un $O_K\left[G\right]$-module stablement libre.

Détail

Reçu le : 2014-07-15
Publié le : 2016-01-25
DOI : 10.5802/pmb.13

Classification : 11R33, 11R04, 11R18, 11R29, 11R32, 11R65
Keywords: Galois module structure, Realisable classes, Locally free class groups, Fröhlich’s Hom-description of locally free class groups, Stickelberger’s theorem