The number of large prime factors of integers and normal numbers

De Koninck, Jean-Marie¹ ; Kátai, Imre²

¹ Département de mathématiques et de statistique Université Laval 1045 Avenue de la médecine Québec Québec G1V 0A6 Canada
² Computer Algebra Department Eötvös Loránd University 1117 Budapest Pázmány Péter Sétány I/C Hungary

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2015), pp. 5-12

Abstract (VO)

In a series of papers, we constructed large families of normal numbers using the concatenation of the values of the largest prime factor $P\left(n\right)$, as $n$ runs through particular sequences of positive integers. A similar approach using the smallest prime factor function also allowed for the construction of normal numbers. Letting $\omega \left(n\right)$ stand for the number of distinct prime factors of the positive integer $n$, we then showed that the concatenation of the successive values of $\left|\omega \right(n)-\lfloor loglogn\rfloor |$ in a fixed base $q\ge 2$, as $n$ runs through the integers $n\ge 3$, yields a normal number. Here we prove the following. Let $q\ge 2$ be a fixed integer. Given an integer $n\ge n_0=max(q,3)$, let $N$ be the unique positive integer satisfying $q^N\le n<q^{N+1}$ and let $h(n,q)$ stand for the residue modulo $q$ of the number of distinct prime factors of $n$ located in the interval $[logN,N]$. Setting $x_N:=e^N$, we then create a normal number in base $q$ using the concatenation of the numbers $h(n,q)$, as $n$ runs through the integers $\ge x_{n_0}$.

Résumé

Dans une série d’articles, nous avons construit de grandes familles de nombres normaux en utilisant la concaténation des valeurs successives du plus grand facteur premier $P\left(n\right)$, où $n$ parcourt certaines suites d’entiers positifs. Une approche similaire en utilisant la fonction plus petit facteur premier nous a aussi permis de construire d’autres familles de nombres normaux. En désignant par $\omega \left(n\right)$ le nombre de nombres premiers distincts de $n$, nous avons montré que la concaténation des valeurs successives de $\left|\omega \right(n)-\lfloor loglogn\rfloor |$ dans une base fixe $q\ge 2$, où $n$ parcourt les entiers $n\ge 3$, donne place à un nombre normal. Ici, nous démontrons le résultat suivant. Soit $q\ge 2$ un entier fixe. Étant donné un entier $n\ge n_0=max(q,3)$, soit $N$ l’unique entier positif satisfaisant $q^N\le n<q^{N+1}$ et désignons par $h(n,q)$ le résidu modulo $q$ du nombre de facteurs premiers distincts de $n$ situés dans l’intervalle $[logN,N]$. En posant $x_N:=e^N$, nous créons alors un nombre normal dans la base $q$ en utilisant la concaténation des nombres $h(n,q)$, où $n$ parcourt les entiers $\ge x_{n_0}$.

Détail

Reçu le : 2014-03-04
Publié le : 2016-01-25
DOI : 10.5802/pmb.10

Classification : 11K16, 11N37, 11N41
Keywords: Normal numbers, number of prime factors