Mathématiques et intuitions : Zermelo et Poincaré face à la théorie axiomatique des ensembles et à l'axiome du choix

Longy, Françoise

Philosophia Scientiae, Tome 5 (2001) no. 2, pp. 51-87

Résumé (VO)

A l'occasion de réflexions sur l'axiome du choix, Zermelo et Poincaré sont amenés à préciser ce qui doit être au fondement des mathématiques et peut servir à justifier un axiome. Défendant l'autonomie des mathématiques, chacun d'eux invoque une intuition mathématique spécifique visible dans la pratique du mathématicien. D'abord, nous explicitons ce qui distingue l'attitude du mathématicien de celle logicien, en prenant l'exemple de Zermelo. Puis, pour déterminer la nature réelle de l'intuition invoquée et la position précise de Zermelo, nous analysons dans le détail son argumentation en dissipant certaines confusions relatives aux notions d'évidence et d'intuition. Nous étudions, ensuite, les arguments de Poincaré destinés à établir, premièrement, que les mathématiques doivent avoir un fondement intuitif et, deuxièmement, qu'il est possible d'offrir un tel fondement à l'axiome du choix. Nous montrons qu'ils prouvent moins que Poincaré ne le croyait. Cette analyse comparative des thèses de Zermelo et de Poincaré nous permet de distinguer un vrai intuitionnisme d'une position faussement semblable où l'«intuition» résulte de la pratique et de la culture acquises dans la discipline. À la lumière de cette distinction, nous réévaluons les arguments avancés par chacun d'eux.

Abstract

Zermelo and Poincaré had different positions on the foundations of mathematics. However, both defended the autonomy of mathematics, and both appealed to specific mathematical intuitions to justify basic axioms. Their reflections on the axiom of choice show how a similar appraisal of mathematics can lead to different positions, and a thorough analysis of these reflections offers the means to evaluate their position. In this article, first, we distinguish the mathematician's attitude from that of the logician, using Zermelo's work as an example. Secondly, we examine Zermelo's arguments to clarify the notions of evidence and intuition that are involved, and to determine what his position is precisely. Thirdly, we consider Poincaré's arguments regarding, first, the need to resort to intuition to justify fundamental mathematical principles and, then, the possibility of giving an intuitive foundation for the axiom of choice. We show that these arguments prove less than Poincaré had thought. The analysis of Zermelo's and Poincaré's arguments delivers a clear distinction between a genuine intuitionism and a deceptively similar position which calls for an “intuition” founded on mathematical practice and culture. And this distinction allows us to evaluate the significance of each argument and to define the position each one of them truly supports.