Universal bounds for cardinalities and energy of codes in Hamming spaces

Stoyanova, Maya

Mathematics and Education in Mathematics, Tome 51 (2022), pp. 100-112.

Résumé

We survey recent results on universal bounds on the energy of codes in Hamming spaces. The universality means, in particular, that the bounds hold for a large class of potential functions (the most important bounds – for absolutely monotone interactions). Furthermore, we employ signed measures that are positive definite up to certain degrees to establish Levenshtein-type upper bounds on the cardinality of codes with given minimum and maximum distance, and universal lower bounds on the potential energy for codes with given maximum distance and cardinality. In particular, the results extend the Levenshtein framework. В статията се представят систематизирано резултати за универсалните граници за размерността и енергията на кодовете в Хемингови пространства. Универсалността означава, че границите са валидни за голям клас от потенциални функции (най-важните от тях са в сила за абсолютно монотонни потенциали). Освен това, като се използват променливи по знак мерки, положително определени до дадена степен, са получени горни граници от тип Левенщейн за мощността на кодовете с дадено минимално и максимално разстояние и универсални долни граници на потенциалната енергия за кодове с дадено максимално разстояние и мощност. Представените методи и техники могат да се разглеждат като обобщение и продължение на разработената от Левенщейн теория.

Détail

Keywords: Hamming space, Levenshtein bounds, potential functions, energy of a code, errorcorrecting codes, τ-designs, signed measures, 74G65, 94B65, 52A40, 05B30, пространства на Хеминг, граници на Левенщейн, потенциални функции, енергия на код, кодове коригиращи грешки, τ -дизайни, променливи по знак мерки, 74G65, 94B65, 52A40, 05B30