A note on the regularity of the Diophantine pair $\protect \lbrace k,4k\pm 4\protect \rbrace $

He, Bo; Pu, Keli; Shen, Rulin; Togbé, Alain

doi:10.5802/jtnb.1055

A note on the regularity of the Diophantine pair

{k, 4 k \pm 4}

He, Bo ^1,² ; Pu, Keli ³ ; Shen, Rulin ¹ ; Togbé, Alain ⁴

¹ Department of Mathematics Hubei University for Nationalities Enshi, Hubei, 445000, P.R. China
² Institute of Mathematics Aba Teachers University Wenchuan, Sichuan, 623000, P. R. China
³ Institute of Mathematics Aba Teachers University Wenchuan, Sichuan, 623000, P.R. China
⁴ Department of Mathematics, Statistics, and Computer Science Purdue University Northwest 1401 S, U.S. 421 Westville IN 46391, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 3, pp. 879-892

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Abstract (VO)
Résumé

Let $ε \in {\pm 1}$ and let $k$ be an integer such that $k \geq 2$ if $ε = - 1$ and $k \geq 1$ if $ε = 1$ . For positive integer $d$ , we prove that if the product of any two distinct elements of the set

{k, 4 k + 4 ε, 144 k^{3} + 240 k^{2} ε + 124 k + 20 ε, d}

increased by $1$ is a perfect square, then $d = 9 k + 6 ε$ or

d = 2304 k^{5} + 6144 k^{4} ε + 6112 k^{3} + 2784 k^{2} ε + 569 k + 42 ε .

Consequently, combining this result with a recent result of Filipin, Fujita and Togbé, we show that all Diophantine quadruples of the form ${k, 4 k + 4 ε, c, d}$ are regular.

Soit $ε \in {\pm 1}$ et soit $k$ un entier tel que $k \geq 2$ si $ε = - 1$ et $k \geq 1$ si $ε = 1$ . Pour tout eniter positif $d$ , nous démontrons que si le produit de deux éléments distincts de l’ensemble

{k, 4 k + 4 ε, 144 k^{3} + 240 k^{2} ε + 124 k + 20 ε, d}

augmenté de $1$ est un carré parfait, alors $d = 9 k + 6 ε$ ou

d = 2304 k^{5} + 6144 k^{4} ε + 6112 k^{3} + 2784 k^{2} ε + 569 k + 42 ε .

Par conséquence, en combinant ce résultat avec un résultat récent de Filipin, Fujita et Togbé, nous provons que tous les quadruplets diophantiens de la forme ${k, 4 k + 4 ε, c, d}$ sont réguliers.

Reçu le : 2017-06-09
Révisé le : 2017-10-02
Accepté le : 2017-10-03
Publié le : 2019-03-29

Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.1055

Classification : 11D09, 11B37, 11J68, 11J86, 11Y65
Keywords: Diophantine $m$-tuples, Pell equations, Baker’s method, Reduction method

Affiliations des auteurs :

He, Bo ^{1, 2} ; Pu, Keli ³ ; Shen, Rulin ¹ ; Togbé, Alain ⁴

¹ Department of Mathematics Hubei University for Nationalities Enshi, Hubei, 445000, P.R. China
² Institute of Mathematics Aba Teachers University Wenchuan, Sichuan, 623000, P. R. China
³ Institute of Mathematics Aba Teachers University Wenchuan, Sichuan, 623000, P.R. China
⁴ Department of Mathematics, Statistics, and Computer Science Purdue University Northwest 1401 S, U.S. 421 Westville IN 46391, USA

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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