On the $k$-regularity of the $k$-adic valuation of Lucas sequences

Murru, Nadir¹ ; Sanna, Carlo¹

¹ Università degli Studi di Torino Department of Mathematics Via Carlo Alberto 10 10123 Torino, Italy

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 227-237

Abstract (VO)

For integers $k\ge 2$ and $n\ne 0$, let ${\nu }_k\left(n\right)$ denote the greatest nonnegative integer $e$ such that $k^e$ divides $n$. Moreover, let ${\left(u_n\right)}_{n\ge 0}$ be a nondegenerate Lucas sequence satisfying $u_0=0$, $u_1=1$, and $u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n$, for some integers $a$ and $b$. Shu and Yao showed that for any prime number $p$ the sequence ${\nu }_p{\left(u_{n+1}\right)}_{n\ge 0}$ is $p$-regular, while Medina and Rowland found the rank of ${\nu }_p{\left(F_{n+1}\right)}_{n\ge 0}$, where $F_n$ is the $n$-th Fibonacci number.

We prove that if $k$ and $b$ are relatively prime then ${\nu }_k{\left(u_{n+1}\right)}_{n\ge 0}$ is a $k$-regular sequence, and for $k$ a prime number we also determine its rank. Furthermore, as an intermediate result, we give explicit formulas for ${\nu }_k\left(u_n\right)$, generalizing a previous theorem of Sanna concerning $p$-adic valuations of Lucas sequences.

Résumé

Pour tous entiers $k\ge 2$ et $n\ne 0$, soit ${\nu }_k\left(n\right)$ le plus grand entier positif $e$ tel que $k^e$ divise $n$. De plus, soit ${\left(u_n\right)}_{n\ge 0}$ une suite de Lucas non dégénérée telle que $u_0=0$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n$, pour certains entiers $a$ et $b$. Shu et Yao ont montré que, pour tout nombre premier $p$, la suite ${\nu }_p{\left(u_{n+1}\right)}_{n\ge 0}$ est $p$-régulière. Medina et Rowland ont déterminé le rang de ${\nu }_p{\left(F_{n+1}\right)}_{n\ge 0}$, où $F_n$ est le $n$-ième nombre de Fibonacci.

Nous montrons que si $k$ et $b$ sont premiers entre eux, alors ${\nu }_k{\left(u_{n+1}\right)}_{n\ge 0}$ est une suite $k$-régulière. Si de plus $k$ est un nombre premier, nous déterminons aussi le rang de cette suite. En outre, nous donnons des formules explicites pour ${\nu }_k\left(u_n\right)$, généralisant un théorème précédent de Sanna concernant les valuations $p$-adiques des suites de Lucas.

Détail

Reçu le : 2016-05-25
Accepté le : 2016-09-13
Publié le : 2018-05-15
DOI : 10.5802/jtnb.1025

Classification : 11B37, 11B85, 11A99
Keywords: Lucas sequence, Fibonacci numbers, $p$-adic valuation, $k$-regular sequence, automatic sequence

Licence : CC-BY-ND 4.0

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