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The Broadhurst-Kreimer (BK) conjecture describes the Hilbert series of a bigraded Lie algebra related to the multizeta values. Brown proposed a conjectural description of the homology of this Lie algebra (homological conjecture (HC)), and showed it implies the BK conjecture. We show that a part of HC is equivalent to a presentation of , and that the remaining part of HC is equivalent to a weaker statement. Finally, we prove that granted the first part of HC, the remaining part of HC is equivalent to either of the following equivalent statements: (a) the vanishing of the third homology group of a Lie algebra with quadratic presentation, constructed out of the period polynomials of modular forms; (b) the koszulity of the enveloping algebra of this Lie algebra.
La conjecture de Broadhurst-Kreimer (BK) décrit la série de Hilbert d’une algèbre de Lie bigraduée reliée aux nombres multizétas. Brown a conjecturé une description de l’homologie de (conjecture homologique (CH)), et montré qu’elle implique la conjecture BK. Nous montrons qu’une partie de CH est équivalente à une présentation de , et que la partie restante de CH est équivalente à un énoncé plus faible. Nous montrons enfin qu’en admettant la première partie de CH, la partie restante de CH est équivalente à l’un des énoncés suivants : (a) annulation du troisième groupe d’homologie d’une algèbre de Lie avec présentation quadratique, construite à partir des polynomes de périodes des formes modulaires ; (b) koszulité de l’algèbre enveloppante de cette algèbre de Lie.
Enriquez, Benjamin 1 ; Lochak, Pierre 2
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Enriquez, Benjamin; Lochak, Pierre. Homology of depth-graded motivic Lie algebras and koszulity. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 3, pp. 829-850. doi: 10.5802/jtnb.966
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