Height and Weber’s Class Number Problem

Morisawa, Takayuki¹ ; Okazaki, Ryotaro²

¹ Division of Liberal Arts, Kogakuin University, 2665-1 Nakano, Hachioji, Tokyo, 192-0015, Japan
² Junior Division, College of Arts and Sciences, The university of Tokyo, 3-8-1, Komaba, Meguro-ku, Tokyo, 153-8902, Japan

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 3, pp. 811-828

Abstract (VO)

We discuss indivisibility by prime numbers $\ell$ of the class number of the $n$-th layer ${𝔹}_n$ of the cyclotomic ${\mathbb{Z}}_p$-extension of $\mathbb{Q}$ where $p$ is an arbitrary fixed prime number.

We denote by $h_n$ the class number of ${𝔹}_n$. Put $q=4$ if $p=2$ or $q=p$ if $p\ge 3$. For positive integers $f$ and $s$, let $D(p,s,f)$ be the set of prime numbers $\ell$ satisfying the following two conditions: (1) the order of $\ell$ modulo $q$ is $f$ and (2) $p^s$ is the exact power of $p$ dividing ${\ell }^f-1$. In this paper, we define an explicit function $G(p,s,f)$ which depends only on $p$, $s$ and $f$. We show that $h_n$ is indivisible by every prime number $\ell$ in $D(p,s,f)$ with $\ell >G(p,s,f)$ for every non-negative integer $n$.

Résumé

Nous étudions la non divisibilité par un nombre premier $\ell$ du nombre de classes $h_n$ du $n$-ième étage ${𝔹}_n$ de la ${\mathbb{Z}}_p$-extension cyclotomique de $\mathbb{Q}$, où $p$ est un nombre premier fixé. Posons $q=4$ si $p=2$ et $q=p$ si $p\ge 3$ et notons $D(p,s,f)$ l’ensemble des nombres premiers $\ell$ dont l’ordre modulo $q$ vaut $f$ et dont $p^s$ est la plus grande puissance de $p$ divisant ${\ell }^f-1$. Dans cet article nous définissons une constante explicite $G(p,s,f)$ ayant la propriété que chaque $h_n$ est non divisible par les $\ell$ dans $D(p,s,f)$ tels que $\ell >G(p,s,f)$.

Détail

Reçu le : 2014-11-06
Révisé le : 2015-06-27
Accepté le : 2015-07-07
Publié le : 2017-01-03
DOI : 10.5802/jtnb.965

Classification : 11R06, 11R18, 11R29
Keywords: Class number, $\mathbb{Z}_p$-extension, Height of algebraic number.