A Note on Extensions of ${\mathbb{Q}}^{tr}$

Pottmeyer, Lukas¹

¹ Universität Basel Spiegelgasse 1 4051 Basel, Switzerland

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 3, pp. 735-742

Abstract (VO)

In this note we investigate the behaviour of the absolute logarithmic Weil-height $h$ on extensions of the field ${\mathbb{Q}}^{tr}$ of totally real numbers. It is known that there is a gap between $0$ and the next smallest value of $h$ on ${\mathbb{Q}}^{tr}$, whereas in ${\mathbb{Q}}^{tr}\left(i\right)$ there are elements of arbitrarily small positive height. We prove that all elements of small height in any finite extension of ${\mathbb{Q}}^{tr}$ already lie in ${\mathbb{Q}}^{tr}\left(i\right)$. This leads to a positive answer to a question of Amoroso, David and Zannier, if there exists a pseudo algebraically closed field with the mentioned height gap.

Résumé

Dans cette note, nous étudions le comportement de la hauteur de Weil (logarithmique, absolue) $h$ sur les extensions du corps ${\mathbb{Q}}^{tr}$ des nombres totalement réels. On sait qu’il y a un écart entre zéro et la plus petite valeur non nulle de la hauteur sur le corps ${\mathbb{Q}}^{tr}$, tandis que dans ${\mathbb{Q}}^{tr}\left(i\right)$ il y a des nombres de hauteur (non nulle) arbitrairement petite. Nous prouvons que tous les éléments de petite hauteur dans une extension finie quelconque de ${\mathbb{Q}}^{tr}$ sont déjà dans ${\mathbb{Q}}^{tr}\left(i\right)$. Cela permet de donner une réponse positive à une question d’Amoroso, David et Zannier, concernant l’existence de corps pseudo algébriquement clos avec l’écart de hauteur que nous avons mentionné.

Détail

Reçu le : 2014-09-01
Révisé le : 2015-06-19
Accepté le : 2015-06-19
Publié le : 2017-01-03
DOI : 10.5802/jtnb.961

Classification : 11G50, 12J15
Keywords: height bounds, totally real numbers, pseudo algebraically closed fields