Hopf-Galois module structure of tame $C_p\times C_p$ extensions

Truman, Paul J.¹

¹ School of Computing and Mathematics Keele University, ST5 5BG, UK

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 2, pp. 557-582

Abstract (VO)

Let $p$ be an odd prime number, $K$ a number field containing a primitive $p^{th}$ root of unity, and $L$ a Galois extension of $K$ with Galois group isomorphic to $C_p\times C_p$. We study in detail the local and global structure of the ring of integers ${𝔒}_L$ as a module over its associated order ${𝔄}_H$ in each of the Hopf algebras $H$ giving nonclassical Hopf-Galois structures on the extension, complementing the $p=2$ case considered in [12]. For each Hopf algebra giving a nonclassical Hopf-Galois structure on $L/K$ we show that ${𝔒}_L$ is locally free over its associated order ${𝔄}_H$ in $H$, compute local generators, and determine necessary and sufficient conditions for ${𝔒}_L$ to be free over ${𝔄}_H$.

Résumé

Soient $p$ un nombre premier impair, $K$ un corps de nombres contenant une racine primitive $p$-ième de l’unité, et $L$ une extension galoisienne de $K$ de groupe de Galois group isomorphe à $C_p\times C_p$. Nous étudions en détail les structures locale et globale de l’anneau des entiers ${𝔒}_L$ en tant que module sur son ordre associé ${𝔄}_H$ dans chacune des algèbres de Hopf $H$ induisant une structure de Hopf-Galois non classique sur l’extension, complétant le cas $p=2$ considéré dans [12]. Pour une telle algèbre de Hopf $H$, nous montrons que ${𝔒}_L$ est localement libre sur ${𝔄}_H$, calculons des générateurs locaux, et déterminons des conditions nécessaires et sufficiantes pour que ${𝔒}_L$ soit libre sur ${𝔄}_H$.

Détail

Reçu le : 2014-06-18
Révisé le : 2014-08-11
Accepté le : 2014-09-05
Publié le : 2017-01-03
DOI : 10.5802/jtnb.953

Classification : 11R33, 11S23, 16T05
Keywords: Hopf-Galois theory, Galois module structure, tame extension.