On $\pi$-exponentials II: Closed formula for the index

Richard, Rodolphe¹

¹ Witte de Withlaan 17, 2253XS Voorchoten, Nederland

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 2, pp. 539-556

Abstract (VO)

This article pursues the series, initiated by [17], dedicated to Pulita’s $\pi$-exponentials and $p$-adic differential equations of rank one with coefficient a polynomial in a ultrametric extension of the field of $p$-adic numbers. We complement [17] with a closed formula for the index. In particular this answers one problem studied in [15]. We also answer a question [21, §2.4] of Robba on the comparison from rational cohomology toward Dwork cohomology (i.e. rigid cohomology on a disk with coefficient). We also indicate a procedure to palliate the lack of isomorphy of this comparison. We establish by the way a characterisation of soluble equations up to equivalence on the dagger algebra. An appendix determine the polynomial complexity of the derived algorithm.

Résumé

Cet article poursuit la série, entamée avec [17], dédiée aux $\pi$-exponentielles de Pulita et aux équations différentielles $p$-adiques de rang $1$ polynomiales dans une extension ultramétrique du corps des nombres $p$-adiques. Nous rajoutons à [17] une formule close pour l’indice. En particulier cela résoud un problème étudié dans [15]. Nous répondons également à une question [21, §2.4] de Robba sur la comparaison de la cohmologie rationnelle vers celle de Dwork (c.-à-d. la cohomologie rigide sur un disque avec coefficient). Nous indiquons même une procédure pour pallier les cas où il n’y a pas isomorphisme. Nous établissons en passant une caractérisation computationelle des équations solubles à équivalence près sur l’algèbre dague. En appendice nous déterminons la complexité polynomiale de l’algorithme déduit.

Détail

Reçu le : 2014-05-19
Révisé le : 2015-02-09
Accepté le : 2015-03-15
Publié le : 2017-01-03
DOI : 10.5802/jtnb.952

Classification : 12H25, 13F35, 14G20
Keywords: $\pi $-exponentials; $p$-adic differential equations: Kernel of Frobenius endomorphism of Witt vectors over a $p$-adic ring; radius of convergence function; algorithm; index formula; Dwork cohomology; Rationnal cohomology; Boyarsky principle; $p$-adic irregularity; Swan conductor.